Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 11320 / 7209
↖ ↑ ↗
← N 21.105000°
E 68.730469°		 ← 2 279.33 m → N 21.105000°
E 68.752441°		 →
↑
2 279.48 m
↓
↑
2 279.48 m
↓
N 21.084500°
E 68.730469°		 ← 2 279.64 m →
5 196 044 m²		 N 21.084500°
E 68.752441°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11320 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7209 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.690948486328125 y=0.440032958984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.690948486328125 × 214)
    floor (0.690948486328125 × 16384)
    floor (11320.5)     		tx = 11320
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.440032958984375 × 214)
    floor (0.440032958984375 × 16384)
    floor (7209.5)     		ty = 7209
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 11320 / 7209 ti = "14/11320/7209"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/11320/7209.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11320 ÷ 214
    11320 ÷ 16384     		x = 0.69091796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7209 ÷ 214
    7209 ÷ 16384     		y = 0.44000244140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.69091796875 × 2 - 1) × π
    0.3818359375 × 3.1415926535     		Λ = 1.19957298
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.44000244140625 × 2 - 1) × π
    0.1199951171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.376975778612122
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.19957298} λ = 1.19957298}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.376975778612122))-π/2
    2×atan(1.45786899733311)-π/2
    2×0.969574035112286-π/2
    1.93914807022457-1.57079632675     		φ = 0.36835174
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.19957298} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.730469°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36835174 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.105000°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11320 KachelY 7209 1.19957298 0.36835174 68.730469 21.105000
    Oben rechts KachelX + 1 11321 KachelY 7209 1.19995647 0.36835174 68.752441 21.105000
    Unten links KachelX 11320 KachelY + 1 7210 1.19957298 0.36799395 68.730469 21.084500
    Unten rechts KachelX + 1 11321 KachelY + 1 7210 1.19995647 0.36799395 68.752441 21.084500
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36835174-0.36799395) × R
    0.000357789999999969 × 6371000     		dl = 2279.4800899998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36835174-0.36799395) × R
    0.000357789999999969 × 6371000     		dr = 2279.4800899998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.19957298-1.19995647) × cos(0.36835174) × R
    0.000383490000000153 × 0.932922115133032 × 6371000     		do = 2279.32910961201m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.19957298-1.19995647) × cos(0.36799395) × R
    0.000383490000000153 × 0.933050887804499 × 6371000     		du = 2279.64372890749m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36835174)-sin(0.36799395))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.932922115133032-0.933050887804499)×R²
    abs(1.19995647-1.19957298)×0.000128772671467714×R²
    0.000383490000000153×0.000128772671467714×6371000²
    0.000383490000000153×0.000128772671467714×40589641000000     		ar = 5196043.96355841m²