Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 11319 / 7208
↖ ↑ ↗
← N 21.125498°
E 68.708496°		 ← 2 279.07 m → N 21.125498°
E 68.730469°		 →
↑
2 279.23 m
↓
↑
2 279.23 m
↓
N 21.105000°
E 68.708496°		 ← 2 279.39 m →
5 194 881 m²		 N 21.105000°
E 68.730469°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11319 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7208 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.690887451171875 y=0.439971923828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.690887451171875 × 214)
    floor (0.690887451171875 × 16384)
    floor (11319.5)     		tx = 11319
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.439971923828125 × 214)
    floor (0.439971923828125 × 16384)
    floor (7208.5)     		ty = 7208
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 11319 / 7208 ti = "14/11319/7208"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/11319/7208.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11319 ÷ 214
    11319 ÷ 16384     		x = 0.69085693359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7208 ÷ 214
    7208 ÷ 16384     		y = 0.43994140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.69085693359375 × 2 - 1) × π
    0.3817138671875 × 3.1415926535     		Λ = 1.19918948
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.43994140625 × 2 - 1) × π
    0.1201171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.377359273809082
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.19918948} λ = 1.19918948}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.377359273809082))-π/2
    2×atan(1.45842819030845)-π/2
    2×0.969752908332948-π/2
    1.9395058166659-1.57079632675     		φ = 0.36870949
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.19918948} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.708496°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36870949 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.125498°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11319 KachelY 7208 1.19918948 0.36870949 68.708496 21.125498
    Oben rechts KachelX + 1 11320 KachelY 7208 1.19957298 0.36870949 68.730469 21.125498
    Unten links KachelX 11319 KachelY + 1 7209 1.19918948 0.36835174 68.708496 21.105000
    Unten rechts KachelX + 1 11320 KachelY + 1 7209 1.19957298 0.36835174 68.730469 21.105000
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36870949-0.36835174) × R
    0.00035774999999999 × 6371000     		dl = 2279.22524999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36870949-0.36835174) × R
    0.00035774999999999 × 6371000     		dr = 2279.22524999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.19918948-1.19957298) × cos(0.36870949) × R
    0.00038349999999987 × 0.932793237451247 × 6371000     		do = 2279.07366200925m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.19918948-1.19957298) × cos(0.36835174) × R
    0.00038349999999987 × 0.932922115133032 × 6371000     		du = 2279.38854607829m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36870949)-sin(0.36835174))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.932793237451247-0.932922115133032)×R²
    abs(1.19957298-1.19918948)×0.000128877681784489×R²
    0.00038349999999987×0.000128877681784489×6371000²
    0.00038349999999987×0.000128877681784489×40589641000000     		ar = 5194881.13832669m²