Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 11310 / 7210
↖ ↑ ↗
← N 21.084500°
E 68.510742°		 ← 2 279.70 m → N 21.084500°
E 68.532715°		 →
↑
2 279.86 m
↓
↑
2 279.86 m
↓
N 21.063997°
E 68.510742°		 ← 2 280.02 m →
5 197 768 m²		 N 21.063997°
E 68.532715°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11310 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7210 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.690338134765625 y=0.440093994140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.690338134765625 × 214)
    floor (0.690338134765625 × 16384)
    floor (11310.5)     		tx = 11310
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.440093994140625 × 214)
    floor (0.440093994140625 × 16384)
    floor (7210.5)     		ty = 7210
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 11310 / 7210 ti = "14/11310/7210"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/11310/7210.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11310 ÷ 214
    11310 ÷ 16384     		x = 0.6903076171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7210 ÷ 214
    7210 ÷ 16384     		y = 0.4400634765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6903076171875 × 2 - 1) × π
    0.380615234375 × 3.1415926535     		Λ = 1.19573802
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4400634765625 × 2 - 1) × π
    0.119873046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.376592283415161
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.19573802} λ = 1.19573802}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.376592283415161))-π/2
    2×atan(1.45731001876449)-π/2
    2×0.969395137189625-π/2
    1.93879027437925-1.57079632675     		φ = 0.36799395
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.19573802} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.510742°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36799395 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.084500°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11310 KachelY 7210 1.19573802 0.36799395 68.510742 21.084500
    Oben rechts KachelX + 1 11311 KachelY 7210 1.19612152 0.36799395 68.532715 21.084500
    Unten links KachelX 11310 KachelY + 1 7211 1.19573802 0.36763610 68.510742 21.063997
    Unten rechts KachelX + 1 11311 KachelY + 1 7211 1.19612152 0.36763610 68.532715 21.063997
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36799395-0.36763610) × R
    0.000357849999999993 × 6371000     		dl = 2279.86234999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36799395-0.36763610) × R
    0.000357849999999993 × 6371000     		dr = 2279.86234999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.19573802-1.19612152) × cos(0.36799395) × R
    0.00038349999999987 × 0.933050887804499 × 6371000     		do = 2279.70317357787m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.19573802-1.19612152) × cos(0.36763610) × R
    0.00038349999999987 × 0.933179562597318 × 6371000     		du = 2280.01756193266m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36799395)-sin(0.36763610))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.933050887804499-0.933179562597318)×R²
    abs(1.19612152-1.19573802)×0.00012867479281875×R²
    0.00038349999999987×0.00012867479281875×6371000²
    0.00038349999999987×0.00012867479281875×40589641000000     		ar = 5197767.87116947m²