Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 11299 / 7213
↖ ↑ ↗
← N 21.022982°
E 68.269043°		 ← 2 280.59 m → N 21.022982°
E 68.291016°		 →
↑
2 280.75 m
↓
↑
2 280.75 m
↓
N 21.002471°
E 68.269043°		 ← 2 280.90 m →
5 201 814 m²		 N 21.002471°
E 68.291016°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11299 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7213 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.689666748046875 y=0.440277099609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.689666748046875 × 214)
    floor (0.689666748046875 × 16384)
    floor (11299.5)     		tx = 11299
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.440277099609375 × 214)
    floor (0.440277099609375 × 16384)
    floor (7213.5)     		ty = 7213
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 11299 / 7213 ti = "14/11299/7213"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/11299/7213.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11299 ÷ 214
    11299 ÷ 16384     		x = 0.68963623046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7213 ÷ 214
    7213 ÷ 16384     		y = 0.44024658203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.68963623046875 × 2 - 1) × π
    0.3792724609375 × 3.1415926535     		Λ = 1.19151958
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.44024658203125 × 2 - 1) × π
    0.1195068359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.37544179782428
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.19151958} λ = 1.19151958}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.37544179782428))-π/2
    2×atan(1.45563436867692)-π/2
    2×0.96885829540467-π/2
    1.93771659080934-1.57079632675     		φ = 0.36692026
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.19151958} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.269043°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36692026 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.022982°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11299 KachelY 7213 1.19151958 0.36692026 68.269043 21.022982
    Oben rechts KachelX + 1 11300 KachelY 7213 1.19190307 0.36692026 68.291016 21.022982
    Unten links KachelX 11299 KachelY + 1 7214 1.19151958 0.36656227 68.269043 21.002471
    Unten rechts KachelX + 1 11300 KachelY + 1 7214 1.19190307 0.36656227 68.291016 21.002471
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36692026-0.36656227) × R
    0.000357989999999975 × 6371000     		dl = 2280.75428999984m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36692026-0.36656227) × R
    0.000357989999999975 × 6371000     		dr = 2280.75428999984m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.19151958-1.19190307) × cos(0.36692026) × R
    0.000383489999999931 × 0.933436603890973 × 6371000     		do = 2280.58611615339m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.19151958-1.19190307) × cos(0.36656227) × R
    0.000383489999999931 × 0.933564970265346 × 6371000     		du = 2280.89974277779m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36692026)-sin(0.36656227))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.933436603890973-0.933564970265346)×R²
    abs(1.19190307-1.19151958)×0.000128366374373301×R²
    0.000383489999999931×0.000128366374373301×6371000²
    0.000383489999999931×0.000128366374373301×40589641000000     		ar = 5201814.27631934m²