Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 11298 / 7218
↖ ↑ ↗
← N 20.920397°
E 68.247070°		 ← 2 282.21 m → N 20.920397°
E 68.269043°		 →
↑
2 282.35 m
↓
↑
2 282.35 m
↓
N 20.899871°
E 68.247070°		 ← 2 282.52 m →
5 209 155 m²		 N 20.899871°
E 68.269043°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11298 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7218 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.689605712890625 y=0.440582275390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.689605712890625 × 214)
    floor (0.689605712890625 × 16384)
    floor (11298.5)     		tx = 11298
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.440582275390625 × 214)
    floor (0.440582275390625 × 16384)
    floor (7218.5)     		ty = 7218
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 11298 / 7218 ti = "14/11298/7218"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/11298/7218.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11298 ÷ 214
    11298 ÷ 16384     		x = 0.6895751953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7218 ÷ 214
    7218 ÷ 16384     		y = 0.4405517578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6895751953125 × 2 - 1) × π
    0.379150390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.19113608
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4405517578125 × 2 - 1) × π
    0.118896484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.373524321839478
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.19113608} λ = 1.19113608}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.373524321839478))-π/2
    2×atan(1.45284589899852)-π/2
    2×0.967963066878897-π/2
    1.93592613375779-1.57079632675     		φ = 0.36512981
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.19113608} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.247070°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36512981 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.920397°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11298 KachelY 7218 1.19113608 0.36512981 68.247070 20.920397
    Oben rechts KachelX + 1 11299 KachelY 7218 1.19151958 0.36512981 68.269043 20.920397
    Unten links KachelX 11298 KachelY + 1 7219 1.19113608 0.36477157 68.247070 20.899871
    Unten rechts KachelX + 1 11299 KachelY + 1 7219 1.19151958 0.36477157 68.269043 20.899871
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36512981-0.36477157) × R
    0.00035824000000001 × 6371000     		dl = 2282.34704000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36512981-0.36477157) × R
    0.00035824000000001 × 6371000     		dr = 2282.34704000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.19113608-1.19151958) × cos(0.36512981) × R
    0.000383500000000092 × 0.934077417706597 × 6371000     		do = 2282.2112720186m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.19113608-1.19151958) × cos(0.36477157) × R
    0.000383500000000092 × 0.934205274719889 × 6371000     		du = 2282.52366231025m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36512981)-sin(0.36477157))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.934077417706597-0.934205274719889)×R²
    abs(1.19151958-1.19113608)×0.000127857013291433×R²
    0.000383500000000092×0.000127857013291433×6371000²
    0.000383500000000092×0.000127857013291433×40589641000000     		ar = 5209154.68858556m²