Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 11298 / 7215
↖ ↑ ↗
← N 20.981957°
E 68.247070°		 ← 2 281.27 m → N 20.981957°
E 68.269043°		 →
↑
2 281.39 m
↓
↑
2 281.39 m
↓
N 20.961440°
E 68.247070°		 ← 2 281.59 m →
5 204 833 m²		 N 20.961440°
E 68.269043°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11298 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7215 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.689605712890625 y=0.440399169921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.689605712890625 × 214)
    floor (0.689605712890625 × 16384)
    floor (11298.5)     		tx = 11298
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.440399169921875 × 214)
    floor (0.440399169921875 × 16384)
    floor (7215.5)     		ty = 7215
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 11298 / 7215 ti = "14/11298/7215"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/11298/7215.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11298 ÷ 214
    11298 ÷ 16384     		x = 0.6895751953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7215 ÷ 214
    7215 ÷ 16384     		y = 0.44036865234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6895751953125 × 2 - 1) × π
    0.379150390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.19113608
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.44036865234375 × 2 - 1) × π
    0.1192626953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.374674807430359
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.19113608} λ = 1.19113608}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.374674807430359))-π/2
    2×atan(1.45451833914576)-π/2
    2×0.968500277729173-π/2
    1.93700055545835-1.57079632675     		φ = 0.36620423
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.19113608} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.247070°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36620423 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.981957°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11298 KachelY 7215 1.19113608 0.36620423 68.247070 20.981957
    Oben rechts KachelX + 1 11299 KachelY 7215 1.19151958 0.36620423 68.269043 20.981957
    Unten links KachelX 11298 KachelY + 1 7216 1.19113608 0.36584614 68.247070 20.961440
    Unten rechts KachelX + 1 11299 KachelY + 1 7216 1.19151958 0.36584614 68.269043 20.961440
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36620423-0.36584614) × R
    0.000358090000000033 × 6371000     		dl = 2281.39139000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36620423-0.36584614) × R
    0.000358090000000033 × 6371000     		dr = 2281.39139000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.19113608-1.19151958) × cos(0.36620423) × R
    0.000383500000000092 × 0.933693234900682 × 6371000     		do = 2281.27260642883m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.19113608-1.19151958) × cos(0.36584614) × R
    0.000383500000000092 × 0.933821397730396 × 6371000     		du = 2281.58574391517m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36620423)-sin(0.36584614))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.933693234900682-0.933821397730396)×R²
    abs(1.19151958-1.19113608)×0.000128162829714396×R²
    0.000383500000000092×0.000128162829714396×6371000²
    0.000383500000000092×0.000128162829714396×40589641000000     		ar = 5204832.93274954m²