Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 11298 / 7214
↖ ↑ ↗
← N 21.002471°
E 68.247070°		 ← 2 280.96 m → N 21.002471°
E 68.269043°		 →
↑
2 281.07 m
↓
↑
2 281.07 m
↓
N 20.981957°
E 68.247070°		 ← 2 281.27 m →
5 203 392 m²		 N 20.981957°
E 68.269043°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11298 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7214 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.689605712890625 y=0.440338134765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.689605712890625 × 214)
    floor (0.689605712890625 × 16384)
    floor (11298.5)     		tx = 11298
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.440338134765625 × 214)
    floor (0.440338134765625 × 16384)
    floor (7214.5)     		ty = 7214
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 11298 / 7214 ti = "14/11298/7214"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/11298/7214.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11298 ÷ 214
    11298 ÷ 16384     		x = 0.6895751953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7214 ÷ 214
    7214 ÷ 16384     		y = 0.4403076171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6895751953125 × 2 - 1) × π
    0.379150390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.19113608
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4403076171875 × 2 - 1) × π
    0.119384765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.375058302627319
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.19113608} λ = 1.19113608}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.375058302627319))-π/2
    2×atan(1.45507624691335)-π/2
    2×0.968679298869109-π/2
    1.93735859773822-1.57079632675     		φ = 0.36656227
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.19113608} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.247070°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36656227 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.002471°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11298 KachelY 7214 1.19113608 0.36656227 68.247070 21.002471
    Oben rechts KachelX + 1 11299 KachelY 7214 1.19151958 0.36656227 68.269043 21.002471
    Unten links KachelX 11298 KachelY + 1 7215 1.19113608 0.36620423 68.247070 20.981957
    Unten rechts KachelX + 1 11299 KachelY + 1 7215 1.19151958 0.36620423 68.269043 20.981957
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36656227-0.36620423) × R
    0.000358040000000004 × 6371000     		dl = 2281.07284000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36656227-0.36620423) × R
    0.000358040000000004 × 6371000     		dr = 2281.07284000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.19113608-1.19151958) × cos(0.36656227) × R
    0.000383500000000092 × 0.933564970265346 × 6371000     		do = 2280.95922020301m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.19113608-1.19151958) × cos(0.36620423) × R
    0.000383500000000092 × 0.933693234900682 × 6371000     		du = 2281.27260642883m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36656227)-sin(0.36620423))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.933564970265346-0.933693234900682)×R²
    abs(1.19151958-1.19113608)×0.000128264635335884×R²
    0.000383500000000092×0.000128264635335884×6371000²
    0.000383500000000092×0.000128264635335884×40589641000000     		ar = 5203391.6103434m²