Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 11292 / 7204
↖ ↑ ↗
← N 21.207459°
E 68.115234°		 ← 2 277.81 m → N 21.207459°
E 68.137207°		 →
↑
2 277.95 m
↓
↑
2 277.95 m
↓
N 21.186973°
E 68.115234°		 ← 2 278.13 m →
5 189 103 m²		 N 21.186973°
E 68.137207°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11292 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7204 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.689239501953125 y=0.439727783203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.689239501953125 × 214)
    floor (0.689239501953125 × 16384)
    floor (11292.5)     		tx = 11292
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.439727783203125 × 214)
    floor (0.439727783203125 × 16384)
    floor (7204.5)     		ty = 7204
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 11292 / 7204 ti = "14/11292/7204"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/11292/7204.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11292 ÷ 214
    11292 ÷ 16384     		x = 0.689208984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7204 ÷ 214
    7204 ÷ 16384     		y = 0.439697265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.689208984375 × 2 - 1) × π
    0.37841796875 × 3.1415926535     		Λ = 1.18883511
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.439697265625 × 2 - 1) × π
    0.12060546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.378893254596924
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.18883511} λ = 1.18883511}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.378893254596924))-π/2
    2×atan(1.4606671079221)-π/2
    2×0.97046815380627-π/2
    1.94093630761254-1.57079632675     		φ = 0.37013998
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.18883511} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.115234°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37013998 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.207459°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11292 KachelY 7204 1.18883511 0.37013998 68.115234 21.207459
    Oben rechts KachelX + 1 11293 KachelY 7204 1.18921861 0.37013998 68.137207 21.207459
    Unten links KachelX 11292 KachelY + 1 7205 1.18883511 0.36978243 68.115234 21.186973
    Unten rechts KachelX + 1 11293 KachelY + 1 7205 1.18921861 0.36978243 68.137207 21.186973
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37013998-0.36978243) × R
    0.000357549999999984 × 6371000     		dl = 2277.9510499999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37013998-0.36978243) × R
    0.000357549999999984 × 6371000     		dr = 2277.9510499999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.18883511-1.18921861) × cos(0.37013998) × R
    0.00038349999999987 × 0.932276717543836 × 6371000     		do = 2277.81166002465m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.18883511-1.18921861) × cos(0.36978243) × R
    0.00038349999999987 × 0.932406000208294 × 6371000     		du = 2278.12753357915m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37013998)-sin(0.36978243))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.932276717543836-0.932406000208294)×R²
    abs(1.18921861-1.18883511)×0.000129282664458552×R²
    0.00038349999999987×0.000129282664458552×6371000²
    0.00038349999999987×0.000129282664458552×40589641000000     		ar = 5189103.29018452m²