Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 11292 / 7201
↖ ↑ ↗
← N 21.268900°
E 68.115234°		 ← 2 276.86 m → N 21.268900°
E 68.137207°		 →
↑
2 277 m
↓
↑
2 277 m
↓
N 21.248422°
E 68.115234°		 ← 2 277.18 m →
5 184 766 m²		 N 21.248422°
E 68.137207°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11292 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7201 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.689239501953125 y=0.439544677734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.689239501953125 × 214)
    floor (0.689239501953125 × 16384)
    floor (11292.5)     		tx = 11292
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.439544677734375 × 214)
    floor (0.439544677734375 × 16384)
    floor (7201.5)     		ty = 7201
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 11292 / 7201 ti = "14/11292/7201"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/11292/7201.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11292 ÷ 214
    11292 ÷ 16384     		x = 0.689208984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7201 ÷ 214
    7201 ÷ 16384     		y = 0.43951416015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.689208984375 × 2 - 1) × π
    0.37841796875 × 3.1415926535     		Λ = 1.18883511
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.43951416015625 × 2 - 1) × π
    0.1209716796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.380043740187805
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.18883511} λ = 1.18883511}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.380043740187805))-π/2
    2×atan(1.46234855143564)-π/2
    2×0.971004327587355-π/2
    1.94200865517471-1.57079632675     		φ = 0.37121233
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.18883511} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.115234°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37121233 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.268900°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11292 KachelY 7201 1.18883511 0.37121233 68.115234 21.268900
    Oben rechts KachelX + 1 11293 KachelY 7201 1.18921861 0.37121233 68.137207 21.268900
    Unten links KachelX 11292 KachelY + 1 7202 1.18883511 0.37085493 68.115234 21.248422
    Unten rechts KachelX + 1 11293 KachelY + 1 7202 1.18921861 0.37085493 68.137207 21.248422
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37121233-0.37085493) × R
    0.000357399999999952 × 6371000     		dl = 2276.9953999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37121233-0.37085493) × R
    0.000357399999999952 × 6371000     		dr = 2276.9953999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.18883511-1.18921861) × cos(0.37121233) × R
    0.00038349999999987 × 0.931888263335598 × 6371000     		do = 2276.86255820943m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.18883511-1.18921861) × cos(0.37085493) × R
    0.00038349999999987 × 0.932017849040965 × 6371000     		du = 2277.17917217726m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37121233)-sin(0.37085493))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.931888263335598-0.932017849040965)×R²
    abs(1.18921861-1.18883511)×0.000129585705366253×R²
    0.00038349999999987×0.000129585705366253×6371000²
    0.00038349999999987×0.000129585705366253×40589641000000     		ar = 5184766.09093761m²