Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 11291 / 7245
↖ ↑ ↗
← N 20.365227°
E 68.093262°		 ← 2 290.50 m → N 20.365227°
E 68.115234°		 →
↑
2 290.63 m
↓
↑
2 290.63 m
↓
N 20.344627°
E 68.093262°		 ← 2 290.80 m →
5 247 031 m²		 N 20.344627°
E 68.115234°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11291 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7245 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.689178466796875 y=0.442230224609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.689178466796875 × 214)
    floor (0.689178466796875 × 16384)
    floor (11291.5)     		tx = 11291
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.442230224609375 × 214)
    floor (0.442230224609375 × 16384)
    floor (7245.5)     		ty = 7245
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 11291 / 7245 ti = "14/11291/7245"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/11291/7245.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11291 ÷ 214
    11291 ÷ 16384     		x = 0.68914794921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7245 ÷ 214
    7245 ÷ 16384     		y = 0.44219970703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.68914794921875 × 2 - 1) × π
    0.3782958984375 × 3.1415926535     		Λ = 1.18845162
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.44219970703125 × 2 - 1) × π
    0.1156005859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.363169951521545
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.18845162} λ = 1.18845162}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.363169951521545))-π/2
    2×atan(1.43788020840608)-π/2
    2×0.963118300115415-π/2
    1.92623660023083-1.57079632675     		φ = 0.35544027
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.18845162} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.093262°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35544027 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.365227°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11291 KachelY 7245 1.18845162 0.35544027 68.093262 20.365227
    Oben rechts KachelX + 1 11292 KachelY 7245 1.18883511 0.35544027 68.115234 20.365227
    Unten links KachelX 11291 KachelY + 1 7246 1.18845162 0.35508073 68.093262 20.344627
    Unten rechts KachelX + 1 11292 KachelY + 1 7246 1.18883511 0.35508073 68.115234 20.344627
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35544027-0.35508073) × R
    0.000359539999999992 × 6371000     		dl = 2290.62933999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35544027-0.35508073) × R
    0.000359539999999992 × 6371000     		dr = 2290.62933999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.18845162-1.18883511) × cos(0.35544027) × R
    0.000383490000000153 × 0.937493364338586 × 6371000     		do = 2290.4976532798m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.18845162-1.18883511) × cos(0.35508073) × R
    0.000383490000000153 × 0.937618424793717 × 6371000     		du = 2290.80320283343m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35544027)-sin(0.35508073))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.937493364338586-0.937618424793717)×R²
    abs(1.18883511-1.18845162)×0.000125060455131498×R²
    0.000383490000000153×0.000125060455131498×6371000²
    0.000383490000000153×0.000125060455131498×40589641000000     		ar = 5247031.13471339m²