Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 11291 / 7200
↖ ↑ ↗
← N 21.289374°
E 68.093262°		 ← 2 276.49 m → N 21.289374°
E 68.115234°		 →
↑
2 276.68 m
↓
↑
2 276.68 m
↓
N 21.268900°
E 68.093262°		 ← 2 276.80 m →
5 183 184 m²		 N 21.268900°
E 68.115234°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11291 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7200 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.689178466796875 y=0.439483642578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.689178466796875 × 214)
    floor (0.689178466796875 × 16384)
    floor (11291.5)     		tx = 11291
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.439483642578125 × 214)
    floor (0.439483642578125 × 16384)
    floor (7200.5)     		ty = 7200
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 11291 / 7200 ti = "14/11291/7200"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/11291/7200.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11291 ÷ 214
    11291 ÷ 16384     		x = 0.68914794921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7200 ÷ 214
    7200 ÷ 16384     		y = 0.439453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.68914794921875 × 2 - 1) × π
    0.3782958984375 × 3.1415926535     		Λ = 1.18845162
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.439453125 × 2 - 1) × π
    0.12109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.380427235384766
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.18845162} λ = 1.18845162}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.380427235384766))-π/2
    2×atan(1.46290946262789)-π/2
    2×0.971183002492088-π/2
    1.94236600498418-1.57079632675     		φ = 0.37156968
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.18845162} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.093262°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37156968 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.289374°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11291 KachelY 7200 1.18845162 0.37156968 68.093262 21.289374
    Oben rechts KachelX + 1 11292 KachelY 7200 1.18883511 0.37156968 68.115234 21.289374
    Unten links KachelX 11291 KachelY + 1 7201 1.18845162 0.37121233 68.093262 21.268900
    Unten rechts KachelX + 1 11292 KachelY + 1 7201 1.18883511 0.37121233 68.115234 21.268900
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37156968-0.37121233) × R
    0.000357350000000034 × 6371000     		dl = 2276.67685000022m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37156968-0.37121233) × R
    0.000357350000000034 × 6371000     		dr = 2276.67685000022m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.18845162-1.18883511) × cos(0.37156968) × R
    0.000383490000000153 × 0.931758576749633 × 6371000     		do = 2276.48633542496m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.18845162-1.18883511) × cos(0.37121233) × R
    0.000383490000000153 × 0.931888263335598 × 6371000     		du = 2276.80318760986m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37156968)-sin(0.37121233))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.931758576749633-0.931888263335598)×R²
    abs(1.18883511-1.18845162)×0.000129686585965461×R²
    0.000383490000000153×0.000129686585965461×6371000²
    0.000383490000000153×0.000129686585965461×40589641000000     		ar = 5183184.47937875m²