Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 11291 / 7198
↖ ↑ ↗
← N 21.330315°
E 68.093262°		 ← 2 275.85 m → N 21.330315°
E 68.115234°		 →
↑
2 276.04 m
↓
↑
2 276.04 m
↓
N 21.309846°
E 68.093262°		 ← 2 276.17 m →
5 180 291 m²		 N 21.309846°
E 68.115234°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11291 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7198 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.689178466796875 y=0.439361572265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.689178466796875 × 214)
    floor (0.689178466796875 × 16384)
    floor (11291.5)     		tx = 11291
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.439361572265625 × 214)
    floor (0.439361572265625 × 16384)
    floor (7198.5)     		ty = 7198
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 11291 / 7198 ti = "14/11291/7198"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/11291/7198.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11291 ÷ 214
    11291 ÷ 16384     		x = 0.68914794921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7198 ÷ 214
    7198 ÷ 16384     		y = 0.4393310546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.68914794921875 × 2 - 1) × π
    0.3782958984375 × 3.1415926535     		Λ = 1.18845162
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4393310546875 × 2 - 1) × π
    0.121337890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.381194225778687
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.18845162} λ = 1.18845162}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.381194225778687))-π/2
    2×atan(1.46403193053893)-π/2
    2×0.971540277651954-π/2
    1.94308055530391-1.57079632675     		φ = 0.37228423
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.18845162} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.093262°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37228423 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.330315°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11291 KachelY 7198 1.18845162 0.37228423 68.093262 21.330315
    Oben rechts KachelX + 1 11292 KachelY 7198 1.18883511 0.37228423 68.115234 21.330315
    Unten links KachelX 11291 KachelY + 1 7199 1.18845162 0.37192698 68.093262 21.309846
    Unten rechts KachelX + 1 11292 KachelY + 1 7199 1.18883511 0.37192698 68.115234 21.309846
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37228423-0.37192698) × R
    0.000357249999999976 × 6371000     		dl = 2276.03974999984m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37228423-0.37192698) × R
    0.000357249999999976 × 6371000     		dr = 2276.03974999984m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.18845162-1.18883511) × cos(0.37228423) × R
    0.000383490000000153 × 0.931498901201934 × 6371000     		do = 2275.85189228622m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.18845162-1.18883511) × cos(0.37192698) × R
    0.000383490000000153 × 0.931628789349577 × 6371000     		du = 2276.16923692959m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37228423)-sin(0.37192698))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.931498901201934-0.931628789349577)×R²
    abs(1.18883511-1.18845162)×0.000129888147642698×R²
    0.000383490000000153×0.000129888147642698×6371000²
    0.000383490000000153×0.000129888147642698×40589641000000     		ar = 5180290.57156311m²