Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 11286 / 7226
↖ ↑ ↗
← N 20.756114°
E 67.983398°		 ← 2 284.64 m → N 20.756114°
E 68.005371°		 →
↑
2 284.83 m
↓
↑
2 284.83 m
↓
N 20.735566°
E 67.983398°		 ← 2 284.95 m →
5 220 381 m²		 N 20.735566°
E 68.005371°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11286 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7226 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.688873291015625 y=0.441070556640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.688873291015625 × 214)
    floor (0.688873291015625 × 16384)
    floor (11286.5)     		tx = 11286
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.441070556640625 × 214)
    floor (0.441070556640625 × 16384)
    floor (7226.5)     		ty = 7226
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 11286 / 7226 ti = "14/11286/7226"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/11286/7226.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11286 ÷ 214
    11286 ÷ 16384     		x = 0.6888427734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7226 ÷ 214
    7226 ÷ 16384     		y = 0.4410400390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6888427734375 × 2 - 1) × π
    0.377685546875 × 3.1415926535     		Λ = 1.18653414
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4410400390625 × 2 - 1) × π
    0.117919921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.370456360263794
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.18653414} λ = 1.18653414}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.370456360263794))-π/2
    2×atan(1.44839545399291)-π/2
    2×0.966529426909236-π/2
    1.93305885381847-1.57079632675     		φ = 0.36226253
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.18653414} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.983398°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36226253 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.756114°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11286 KachelY 7226 1.18653414 0.36226253 67.983398 20.756114
    Oben rechts KachelX + 1 11287 KachelY 7226 1.18691763 0.36226253 68.005371 20.756114
    Unten links KachelX 11286 KachelY + 1 7227 1.18653414 0.36190390 67.983398 20.735566
    Unten rechts KachelX + 1 11287 KachelY + 1 7227 1.18691763 0.36190390 68.005371 20.735566
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36226253-0.36190390) × R
    0.000358630000000026 × 6371000     		dl = 2284.83173000017m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36226253-0.36190390) × R
    0.000358630000000026 × 6371000     		dr = 2284.83173000017m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.18653414-1.18691763) × cos(0.36226253) × R
    0.000383489999999931 × 0.935097397890376 × 6371000     		do = 2284.64379261587m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.18653414-1.18691763) × cos(0.36190390) × R
    0.000383489999999931 × 0.935224432935028 × 6371000     		du = 2284.95416651581m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36226253)-sin(0.36190390))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.935097397890376-0.935224432935028)×R²
    abs(1.18691763-1.18653414)×0.000127035044652057×R²
    0.000383489999999931×0.000127035044652057×6371000²
    0.000383489999999931×0.000127035044652057×40589641000000     		ar = 5220381.26113564m²