Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 11284 / 7179
↖ ↑ ↗
← N 21.718680°
E 67.939453°		 ← 2 269.78 m → N 21.718680°
E 67.961426°		 →
↑
2 269.99 m
↓
↑
2 269.99 m
↓
N 21.698265°
E 67.939453°		 ← 2 270.10 m →
5 152 728 m²		 N 21.698265°
E 67.961426°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11284 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7179 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.688751220703125 y=0.438201904296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.688751220703125 × 214)
    floor (0.688751220703125 × 16384)
    floor (11284.5)     		tx = 11284
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.438201904296875 × 214)
    floor (0.438201904296875 × 16384)
    floor (7179.5)     		ty = 7179
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 11284 / 7179 ti = "14/11284/7179"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/11284/7179.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11284 ÷ 214
    11284 ÷ 16384     		x = 0.688720703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7179 ÷ 214
    7179 ÷ 16384     		y = 0.43817138671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.688720703125 × 2 - 1) × π
    0.37744140625 × 3.1415926535     		Λ = 1.18576715
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.43817138671875 × 2 - 1) × π
    0.1236572265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.388480634520935
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.18576715} λ = 1.18576715}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.388480634520935))-π/2
    2×atan(1.47473842417211)-π/2
    2×0.974929399290252-π/2
    1.9498587985805-1.57079632675     		φ = 0.37906247
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.18576715} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.939453°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37906247 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.718680°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11284 KachelY 7179 1.18576715 0.37906247 67.939453 21.718680
    Oben rechts KachelX + 1 11285 KachelY 7179 1.18615064 0.37906247 67.961426 21.718680
    Unten links KachelX 11284 KachelY + 1 7180 1.18576715 0.37870617 67.939453 21.698265
    Unten rechts KachelX + 1 11285 KachelY + 1 7180 1.18615064 0.37870617 67.961426 21.698265
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37906247-0.37870617) × R
    0.000356299999999976 × 6371000     		dl = 2269.98729999985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37906247-0.37870617) × R
    0.000356299999999976 × 6371000     		dr = 2269.98729999985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.18576715-1.18615064) × cos(0.37906247) × R
    0.000383489999999931 × 0.929011976462591 × 6371000     		do = 2269.77580098012m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.18576715-1.18615064) × cos(0.37870617) × R
    0.000383489999999931 × 0.929143766183191 × 6371000     		du = 2270.09779157466m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37906247)-sin(0.37870617))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.929011976462591-0.929143766183191)×R²
    abs(1.18615064-1.18576715)×0.000131789720600017×R²
    0.000383489999999931×0.000131789720600017×6371000²
    0.000383489999999931×0.000131789720600017×40589641000000     		ar = 5152727.75386287m²