Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 11277 / 7202
↖ ↑ ↗
← N 21.248422°
E 67.785644°		 ← 2 277.18 m → N 21.248422°
E 67.807617°		 →
↑
2 277.31 m
↓
↑
2 277.31 m
↓
N 21.227942°
E 67.785644°		 ← 2 277.50 m →
5 186 212 m²		 N 21.227942°
E 67.807617°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11277 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7202 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.688323974609375 y=0.439605712890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.688323974609375 × 214)
    floor (0.688323974609375 × 16384)
    floor (11277.5)     		tx = 11277
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.439605712890625 × 214)
    floor (0.439605712890625 × 16384)
    floor (7202.5)     		ty = 7202
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 11277 / 7202 ti = "14/11277/7202"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/11277/7202.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11277 ÷ 214
    11277 ÷ 16384     		x = 0.68829345703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7202 ÷ 214
    7202 ÷ 16384     		y = 0.4395751953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.68829345703125 × 2 - 1) × π
    0.3765869140625 × 3.1415926535     		Λ = 1.18308268
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4395751953125 × 2 - 1) × π
    0.120849609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.379660244990845
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.18308268} λ = 1.18308268}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.379660244990845))-π/2
    2×atan(1.46178785530889)-π/2
    2×0.970825627825224-π/2
    1.94165125565045-1.57079632675     		φ = 0.37085493
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.18308268} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.785644°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37085493 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.248422°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11277 KachelY 7202 1.18308268 0.37085493 67.785644 21.248422
    Oben rechts KachelX + 1 11278 KachelY 7202 1.18346618 0.37085493 67.807617 21.248422
    Unten links KachelX 11277 KachelY + 1 7203 1.18308268 0.37049748 67.785644 21.227942
    Unten rechts KachelX + 1 11278 KachelY + 1 7203 1.18346618 0.37049748 67.807617 21.227942
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37085493-0.37049748) × R
    0.000357450000000037 × 6371000     		dl = 2277.31395000024m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37085493-0.37049748) × R
    0.000357450000000037 × 6371000     		dr = 2277.31395000024m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.18308268-1.18346618) × cos(0.37085493) × R
    0.00038349999999987 × 0.932017849040965 × 6371000     		do = 2277.17917217726m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.18308268-1.18346618) × cos(0.37049748) × R
    0.00038349999999987 × 0.932147333799217 × 6371000     		du = 2277.49553950318m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37085493)-sin(0.37049748))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.932017849040965-0.932147333799217)×R²
    abs(1.18346618-1.18308268)×0.000129484758252585×R²
    0.00038349999999987×0.000129484758252585×6371000²
    0.00038349999999987×0.000129484758252585×40589641000000     		ar = 5186212.18453188m²