Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 11271 / 7207
↖ ↑ ↗
← N 21.145992°
E 67.653809°		 ← 2 278.76 m → N 21.145992°
E 67.675781°		 →
↑
2 278.91 m
↓
↑
2 278.91 m
↓
N 21.125498°
E 67.653809°		 ← 2 279.07 m →
5 193 437 m²		 N 21.125498°
E 67.675781°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11271 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7207 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.687957763671875 y=0.439910888671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.687957763671875 × 214)
    floor (0.687957763671875 × 16384)
    floor (11271.5)     		tx = 11271
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.439910888671875 × 214)
    floor (0.439910888671875 × 16384)
    floor (7207.5)     		ty = 7207
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 11271 / 7207 ti = "14/11271/7207"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/11271/7207.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11271 ÷ 214
    11271 ÷ 16384     		x = 0.68792724609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7207 ÷ 214
    7207 ÷ 16384     		y = 0.43988037109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.68792724609375 × 2 - 1) × π
    0.3758544921875 × 3.1415926535     		Λ = 1.18078171
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.43988037109375 × 2 - 1) × π
    0.1202392578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.377742769006042
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.18078171} λ = 1.18078171}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.377742769006042))-π/2
    2×atan(1.45898759777272)-π/2
    2×0.969931756832133-π/2
    1.93986351366427-1.57079632675     		φ = 0.36906719
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.18078171} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.653809°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36906719 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.145992°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11271 KachelY 7207 1.18078171 0.36906719 67.653809 21.145992
    Oben rechts KachelX + 1 11272 KachelY 7207 1.18116521 0.36906719 67.675781 21.145992
    Unten links KachelX 11271 KachelY + 1 7208 1.18078171 0.36870949 67.653809 21.125498
    Unten rechts KachelX + 1 11272 KachelY + 1 7208 1.18116521 0.36870949 67.675781 21.125498
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36906719-0.36870949) × R
    0.000357700000000016 × 6371000     		dl = 2278.9067000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36906719-0.36870949) × R
    0.000357700000000016 × 6371000     		dr = 2278.9067000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.18078171-1.18116521) × cos(0.36906719) × R
    0.000383500000000092 × 0.932664258423144 × 6371000     		do = 2278.75853032426m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.18078171-1.18116521) × cos(0.36870949) × R
    0.000383500000000092 × 0.932793237451247 × 6371000     		du = 2279.07366201057m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36906719)-sin(0.36870949))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.932664258423144-0.932793237451247)×R²
    abs(1.18116521-1.18078171)×0.000128979028103382×R²
    0.000383500000000092×0.000128979028103382×6371000²
    0.000383500000000092×0.000128979028103382×40589641000000     		ar = 5193437.21566875m²