Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 11256 / 7261
↖ ↑ ↗
← N 20.035290°
E 67.324219°		 ← 2 295.42 m → N 20.035290°
E 67.346191°		 →
↑
2 295.54 m
↓
↑
2 295.54 m
↓
N 20.014645°
E 67.324219°		 ← 2 295.72 m →
5 269 553 m²		 N 20.014645°
E 67.346191°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11256 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7261 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.687042236328125 y=0.443206787109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.687042236328125 × 214)
    floor (0.687042236328125 × 16384)
    floor (11256.5)     		tx = 11256
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.443206787109375 × 214)
    floor (0.443206787109375 × 16384)
    floor (7261.5)     		ty = 7261
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 11256 / 7261 ti = "14/11256/7261"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/11256/7261.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11256 ÷ 214
    11256 ÷ 16384     		x = 0.68701171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7261 ÷ 214
    7261 ÷ 16384     		y = 0.44317626953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.68701171875 × 2 - 1) × π
    0.3740234375 × 3.1415926535     		Λ = 1.17502928
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.44317626953125 × 2 - 1) × π
    0.1136474609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.357034028370178
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.17502928} λ = 1.17502928}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.357034028370178))-π/2
    2×atan(1.42908449844283)-π/2
    2×0.960239049419676-π/2
    1.92047809883935-1.57079632675     		φ = 0.34968177
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.17502928} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.324219°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34968177 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.035290°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11256 KachelY 7261 1.17502928 0.34968177 67.324219 20.035290
    Oben rechts KachelX + 1 11257 KachelY 7261 1.17541278 0.34968177 67.346191 20.035290
    Unten links KachelX 11256 KachelY + 1 7262 1.17502928 0.34932146 67.324219 20.014645
    Unten rechts KachelX + 1 11257 KachelY + 1 7262 1.17541278 0.34932146 67.346191 20.014645
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34968177-0.34932146) × R
    0.00036031000000003 × 6371000     		dl = 2295.53501000019m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34968177-0.34932146) × R
    0.00036031000000003 × 6371000     		dr = 2295.53501000019m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.17502928-1.17541278) × cos(0.34968177) × R
    0.000383500000000092 × 0.93948178564951 × 6371000     		do = 2295.41564801961m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.17502928-1.17541278) × cos(0.34932146) × R
    0.000383500000000092 × 0.939605166456441 × 6371000     		du = 2295.71710169249m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34968177)-sin(0.34932146))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.93948178564951-0.939605166456441)×R²
    abs(1.17541278-1.17502928)×0.000123380806930196×R²
    0.000383500000000092×0.000123380806930196×6371000²
    0.000383500000000092×0.000123380806930196×40589641000000     		ar = 5269553.03827104m²