Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 110080 / 122368
↖ ↑ ↗
← S 82.494824°
E122.343750°		 ← 39.89 m → S 82.494824°
E122.346496°		 →
↑
39.88 m
↓
↑
39.88 m
↓
S 82.495182°
E122.343750°		 ← 39.88 m →
1 591 m²		 S 82.495182°
E122.346496°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 110080 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 122368 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.839847564697266 y=0.933597564697266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.839847564697266 × 217)
    floor (0.839847564697266 × 131072)
    floor (110080.5)     		tx = 110080
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.933597564697266 × 217)
    floor (0.933597564697266 × 131072)
    floor (122368.5)     		ty = 122368
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 110080 / 122368 ti = "17/110080/122368"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/110080/122368.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 110080 ÷ 217
    110080 ÷ 131072     		x = 0.83984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 122368 ÷ 217
    122368 ÷ 131072     		y = 0.93359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.83984375 × 2 - 1) × π
    0.6796875 × 3.1415926535     		Λ = 2.13530126
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.93359375 × 2 - 1) × π
    -0.8671875 × 3.1415926535     		Φ = -2.72434987920703
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.13530126} λ = 2.13530126}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.72434987920703))-π/2
    2×atan(0.0655888295220959)-π/2
    2×0.0654950194636357-π/2
    0.130990038927271-1.57079632675     		φ = -1.43980629
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.13530126} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 122.343750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.43980629 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.494824°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 110080 KachelY 122368 2.13530126 -1.43980629 122.343750 -82.494824
    Oben rechts KachelX + 1 110081 KachelY 122368 2.13534919 -1.43980629 122.346496 -82.494824
    Unten links KachelX 110080 KachelY + 1 122369 2.13530126 -1.43981255 122.343750 -82.495182
    Unten rechts KachelX + 1 110081 KachelY + 1 122369 2.13534919 -1.43981255 122.346496 -82.495182
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.43980629--1.43981255) × R
    6.2600000001467e-06 × 6371000     		dl = 39.8824600009346m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.43980629--1.43981255) × R
    6.2600000001467e-06 × 6371000     		dr = 39.8824600009346m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.13530126-2.13534919) × cos(-1.43980629) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.130615761686591 × 6371000     		do = 39.8850941386382m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.13530126-2.13534919) × cos(-1.43981255) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.130609555313044 × 6371000     		du = 39.8831989478128m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.43980629)-sin(-1.43981255))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.130615761686591-0.130609555313044)×R²
    abs(2.13534919-2.13530126)×6.20637354759035e-06×R²
    4.79300000000293e-05×6.20637354759035e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×6.20637354759035e-06×40589641000000     		ar = 1590.67787908523m²