Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 109840 / 124176
↖ ↑ ↗
← S 83.116340°
E121.684570°		 ← 36.61 m → S 83.116340°
E121.687317°		 →
↑
36.57 m
↓
↑
36.57 m
↓
S 83.116669°
E121.684570°		 ← 36.60 m →
1 339 m²		 S 83.116669°
E121.687317°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 109840 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 124176 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.838016510009766 y=0.947391510009766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.838016510009766 × 217)
    floor (0.838016510009766 × 131072)
    floor (109840.5)     		tx = 109840
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.947391510009766 × 217)
    floor (0.947391510009766 × 131072)
    floor (124176.5)     		ty = 124176
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 109840 / 124176 ti = "17/109840/124176"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/109840/124176.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 109840 ÷ 217
    109840 ÷ 131072     		x = 0.8380126953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 124176 ÷ 217
    124176 ÷ 131072     		y = 0.9473876953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8380126953125 × 2 - 1) × π
    0.676025390625 × 3.1415926535     		Λ = 2.12379640
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9473876953125 × 2 - 1) × π
    -0.894775390625 × 3.1415926535     		Φ = -2.81101979372009
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.12379640} λ = 2.12379640}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.81101979372009))-π/2
    2×atan(0.0601436270145453)-π/2
    2×0.060071265703404-π/2
    0.120142531406808-1.57079632675     		φ = -1.45065380
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.12379640} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 121.684570°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.45065380 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -83.116340°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 109840 KachelY 124176 2.12379640 -1.45065380 121.684570 -83.116340
    Oben rechts KachelX + 1 109841 KachelY 124176 2.12384434 -1.45065380 121.687317 -83.116340
    Unten links KachelX 109840 KachelY + 1 124177 2.12379640 -1.45065954 121.684570 -83.116669
    Unten rechts KachelX + 1 109841 KachelY + 1 124177 2.12384434 -1.45065954 121.687317 -83.116669
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.45065380--1.45065954) × R
    5.73999999997632e-06 × 6371000     		dl = 36.5695399998491m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.45065380--1.45065954) × R
    5.73999999997632e-06 × 6371000     		dr = 36.5695399998491m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.12379640-2.12384434) × cos(-1.45065380) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.119853707905344 × 6371000     		do = 36.6064074290487m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.12379640-2.12384434) × cos(-1.45065954) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.119848009279795 × 6371000     		du = 36.6046669221233m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.45065380)-sin(-1.45065954))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.119853707905344-0.119848009279795)×R²
    abs(2.12384434-2.12379640)×5.69862554929135e-06×R²
    4.79400000004127e-05×5.69862554929135e-06×6371000²
    4.79400000004127e-05×5.69862554929135e-06×40589641000000     		ar = 1338.64765586046m²