Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 109824 / 123648
↖ ↑ ↗
← S 82.940327°
E121.640625°		 ← 37.54 m → S 82.940327°
E121.643372°		 →
↑
37.53 m
↓
↑
37.53 m
↓
S 82.940665°
E121.640625°		 ← 37.54 m →
1 409 m²		 S 82.940665°
E121.643372°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 109824 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 123648 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.837894439697266 y=0.943363189697266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.837894439697266 × 217)
    floor (0.837894439697266 × 131072)
    floor (109824.5)     		tx = 109824
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.943363189697266 × 217)
    floor (0.943363189697266 × 131072)
    floor (123648.5)     		ty = 123648
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 109824 / 123648 ti = "17/109824/123648"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/109824/123648.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 109824 ÷ 217
    109824 ÷ 131072     		x = 0.837890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 123648 ÷ 217
    123648 ÷ 131072     		y = 0.943359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.837890625 × 2 - 1) × π
    0.67578125 × 3.1415926535     		Λ = 2.12302941
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.943359375 × 2 - 1) × π
    -0.88671875 × 3.1415926535     		Φ = -2.7857091107207
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.12302941} λ = 2.12302941}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.7857091107207))-π/2
    2×atan(0.0616853317883462)-π/2
    2×0.0616072707175025-π/2
    0.123214541435005-1.57079632675     		φ = -1.44758179
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.12302941} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 121.640625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.44758179 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.940327°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 109824 KachelY 123648 2.12302941 -1.44758179 121.640625 -82.940327
    Oben rechts KachelX + 1 109825 KachelY 123648 2.12307735 -1.44758179 121.643372 -82.940327
    Unten links KachelX 109824 KachelY + 1 123649 2.12302941 -1.44758768 121.640625 -82.940665
    Unten rechts KachelX + 1 109825 KachelY + 1 123649 2.12307735 -1.44758768 121.643372 -82.940665
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.44758179--1.44758768) × R
    5.88999999995288e-06 × 6371000     		dl = 37.5251899996998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.44758179--1.44758768) × R
    5.88999999995288e-06 × 6371000     		dr = 37.5251899996998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.12302941-2.12307735) × cos(-1.44758179) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.122903003175518 × 6371000     		do = 37.5377406930803m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.12302941-2.12307735) × cos(-1.44758768) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.122897157827315 × 6371000     		du = 37.53595537328m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.44758179)-sin(-1.44758768))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.122903003175518-0.122897157827315)×R²
    abs(2.12307735-2.12302941)×5.84534820269322e-06×R²
    4.79399999999686e-05×5.84534820269322e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×5.84534820269322e-06×40589641000000     		ar = 1408.57735455103m²