Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 109728 / 124064
↖ ↑ ↗
← S 83.079372°
E121.376953°		 ← 36.79 m → S 83.079372°
E121.379699°		 →
↑
36.82 m
↓
↑
36.82 m
↓
S 83.079704°
E121.376953°		 ← 36.79 m →
1 355 m²		 S 83.079704°
E121.379699°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 109728 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 124064 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.837162017822266 y=0.946537017822266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.837162017822266 × 217)
    floor (0.837162017822266 × 131072)
    floor (109728.5)     		tx = 109728
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.946537017822266 × 217)
    floor (0.946537017822266 × 131072)
    floor (124064.5)     		ty = 124064
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 109728 / 124064 ti = "17/109728/124064"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/109728/124064.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 109728 ÷ 217
    109728 ÷ 131072     		x = 0.837158203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 124064 ÷ 217
    124064 ÷ 131072     		y = 0.946533203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.837158203125 × 2 - 1) × π
    0.67431640625 × 3.1415926535     		Λ = 2.11842747
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.946533203125 × 2 - 1) × π
    -0.89306640625 × 3.1415926535     		Φ = -2.80565086096265
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.11842747} λ = 2.11842747}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.80565086096265))-π/2
    2×atan(0.0604674024904074)-π/2
    2×0.060393867951116-π/2
    0.120787735902232-1.57079632675     		φ = -1.45000859
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.11842747} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 121.376953°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.45000859 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -83.079372°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 109728 KachelY 124064 2.11842747 -1.45000859 121.376953 -83.079372
    Oben rechts KachelX + 1 109729 KachelY 124064 2.11847540 -1.45000859 121.379699 -83.079372
    Unten links KachelX 109728 KachelY + 1 124065 2.11842747 -1.45001437 121.376953 -83.079704
    Unten rechts KachelX + 1 109729 KachelY + 1 124065 2.11847540 -1.45001437 121.379699 -83.079704
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.45000859--1.45001437) × R
    5.78000000017731e-06 × 6371000     		dl = 36.8243800011296m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.45000859--1.45001437) × R
    5.78000000017731e-06 × 6371000     		dr = 36.8243800011296m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.11842747-2.11847540) × cos(-1.45000859) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.120494241958328 × 6371000     		do = 36.7943663277287m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.11842747-2.11847540) × cos(-1.45001437) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.120488504069244 × 6371000     		du = 36.7926141942701m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.45000859)-sin(-1.45001437))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.120494241958328-0.120488504069244)×R²
    abs(2.11847540-2.11842747)×5.73788908386774e-06×R²
    4.79300000000293e-05×5.73788908386774e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×5.73788908386774e-06×40589641000000     		ar = 1354.89746686965m²