Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 109584 / 123920
↖ ↑ ↗
← S 83.031552°
E120.981445°		 ← 37.06 m → S 83.031552°
E120.984192°		 →
↑
37.08 m
↓
↑
37.08 m
↓
S 83.031886°
E120.981445°		 ← 37.05 m →
1 374 m²		 S 83.031886°
E120.984192°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 109584 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 123920 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.836063385009766 y=0.945438385009766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.836063385009766 × 217)
    floor (0.836063385009766 × 131072)
    floor (109584.5)     		tx = 109584
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.945438385009766 × 217)
    floor (0.945438385009766 × 131072)
    floor (123920.5)     		ty = 123920
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 109584 / 123920 ti = "17/109584/123920"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/109584/123920.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 109584 ÷ 217
    109584 ÷ 131072     		x = 0.8360595703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 123920 ÷ 217
    123920 ÷ 131072     		y = 0.9454345703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8360595703125 × 2 - 1) × π
    0.672119140625 × 3.1415926535     		Λ = 2.11152455
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9454345703125 × 2 - 1) × π
    -0.890869140625 × 3.1415926535     		Φ = -2.79874794741736
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.11152455} λ = 2.11152455}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.79874794741736))-π/2
    2×atan(0.0608862477050889)-π/2
    2×0.0608111767634865-π/2
    0.121622353526973-1.57079632675     		φ = -1.44917397
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.11152455} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 120.981445°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.44917397 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -83.031552°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 109584 KachelY 123920 2.11152455 -1.44917397 120.981445 -83.031552
    Oben rechts KachelX + 1 109585 KachelY 123920 2.11157249 -1.44917397 120.984192 -83.031552
    Unten links KachelX 109584 KachelY + 1 123921 2.11152455 -1.44917979 120.981445 -83.031886
    Unten rechts KachelX + 1 109585 KachelY + 1 123921 2.11157249 -1.44917979 120.984192 -83.031886
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.44917397--1.44917979) × R
    5.82000000015626e-06 × 6371000     		dl = 37.0792200009955m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.44917397--1.44917979) × R
    5.82000000015626e-06 × 6371000     		dr = 37.0792200009955m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.11152455-2.11157249) × cos(-1.44917397) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.121322738875044 × 6371000     		do = 37.0550872997126m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.11152455-2.11157249) × cos(-1.44917979) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.121316961864668 × 6371000     		du = 37.0533228520438m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.44917397)-sin(-1.44917979))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.121322738875044-0.121316961864668)×R²
    abs(2.11157249-2.11152455)×5.77701037525469e-06×R²
    4.79399999999686e-05×5.77701037525469e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×5.77701037525469e-06×40589641000000     		ar = 1373.94102189702m²