Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 109570 / 121858
↖ ↑ ↗
← S 82.309628°
E120.942993°		 ← 40.86 m → S 82.309628°
E120.945739°		 →
↑
40.84 m
↓
↑
40.84 m
↓
S 82.309995°
E120.942993°		 ← 40.86 m →
1 669 m²		 S 82.309995°
E120.945739°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 109570 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 121858 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.835956573486328 y=0.929706573486328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.835956573486328 × 217)
    floor (0.835956573486328 × 131072)
    floor (109570.5)     		tx = 109570
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.929706573486328 × 217)
    floor (0.929706573486328 × 131072)
    floor (121858.5)     		ty = 121858
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 109570 / 121858 ti = "17/109570/121858"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/109570/121858.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 109570 ÷ 217
    109570 ÷ 131072     		x = 0.835952758789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 121858 ÷ 217
    121858 ÷ 131072     		y = 0.929702758789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.835952758789062 × 2 - 1) × π
    0.671905517578125 × 3.1415926535     		Λ = 2.11085344
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.929702758789062 × 2 - 1) × π
    -0.859405517578125 × 3.1415926535     		Φ = -2.6999020604008
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.11085344} λ = 2.11085344}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.6999020604008))-π/2
    2×atan(0.067212095143065)-π/2
    2×0.0671111591415379-π/2
    0.134222318283076-1.57079632675     		φ = -1.43657401
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.11085344} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 120.942993°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.43657401 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.309628°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 109570 KachelY 121858 2.11085344 -1.43657401 120.942993 -82.309628
    Oben rechts KachelX + 1 109571 KachelY 121858 2.11090137 -1.43657401 120.945739 -82.309628
    Unten links KachelX 109570 KachelY + 1 121859 2.11085344 -1.43658042 120.942993 -82.309995
    Unten rechts KachelX + 1 109571 KachelY + 1 121859 2.11090137 -1.43658042 120.945739 -82.309995
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.43657401--1.43658042) × R
    6.41000000012326e-06 × 6371000     		dl = 40.8381100007853m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.43657401--1.43658042) × R
    6.41000000012326e-06 × 6371000     		dr = 40.8381100007853m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.11085344-2.11090137) × cos(-1.43657401) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.133819663062318 × 6371000     		do = 40.8634439666506m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.11085344-2.11090137) × cos(-1.43658042) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.133813310713031 × 6371000     		du = 40.8615042003769m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.43657401)-sin(-1.43658042))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.133819663062318-0.133813310713031)×R²
    abs(2.11090137-2.11085344)×6.35234928739181e-06×R²
    4.79300000000293e-05×6.35234928739181e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×6.35234928739181e-06×40589641000000     		ar = 1668.7462115386m²