Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 109568 / 121855
↖ ↑ ↗
← S 82.308525°
E120.937500°		 ← 40.88 m → S 82.308525°
E120.940247°		 →
↑
40.90 m
↓
↑
40.90 m
↓
S 82.308893°
E120.937500°		 ← 40.88 m →
1 672 m²		 S 82.308893°
E120.940247°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 109568 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 121855 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.835941314697266 y=0.929683685302734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.835941314697266 × 217)
    floor (0.835941314697266 × 131072)
    floor (109568.5)     		tx = 109568
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.929683685302734 × 217)
    floor (0.929683685302734 × 131072)
    floor (121855.5)     		ty = 121855
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 109568 / 121855 ti = "17/109568/121855"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/109568/121855.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 109568 ÷ 217
    109568 ÷ 131072     		x = 0.8359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 121855 ÷ 217
    121855 ÷ 131072     		y = 0.929679870605469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8359375 × 2 - 1) × π
    0.671875 × 3.1415926535     		Λ = 2.11075756
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.929679870605469 × 2 - 1) × π
    -0.859359741210938 × 3.1415926535     		Φ = -2.69975824970194
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.11075756} λ = 2.11075756}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.69975824970194))-π/2
    2×atan(0.0672217616564968)-π/2
    2×0.0671207821769843-π/2
    0.134241564353969-1.57079632675     		φ = -1.43655476
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.11075756} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 120.937500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.43655476 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.308525°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 109568 KachelY 121855 2.11075756 -1.43655476 120.937500 -82.308525
    Oben rechts KachelX + 1 109569 KachelY 121855 2.11080550 -1.43655476 120.940247 -82.308525
    Unten links KachelX 109568 KachelY + 1 121856 2.11075756 -1.43656118 120.937500 -82.308893
    Unten rechts KachelX + 1 109569 KachelY + 1 121856 2.11080550 -1.43656118 120.940247 -82.308893
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.43655476--1.43656118) × R
    6.42000000006249e-06 × 6371000     		dl = 40.9018200003981m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.43655476--1.43656118) × R
    6.42000000006249e-06 × 6371000     		dr = 40.9018200003981m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.11075756-2.11080550) × cos(-1.43655476) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.133838739897251 × 6371000     		do = 40.8777961737587m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.11075756-2.11080550) × cos(-1.43656118) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.133832377654437 × 6371000     		du = 40.8758529810392m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.43655476)-sin(-1.43656118))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.133838739897251-0.133832377654437)×R²
    abs(2.11080550-2.11075756)×6.36224281402864e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.36224281402864e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.36224281402864e-06×40589641000000     		ar = 1671.93652112438m²