Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 109567 / 121855
↖ ↑ ↗
← S 82.308525°
E120.934754°		 ← 40.87 m → S 82.308525°
E120.937500°		 →
↑
40.90 m
↓
↑
40.90 m
↓
S 82.308893°
E120.934754°		 ← 40.87 m →
1 672 m²		 S 82.308893°
E120.937500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 109567 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 121855 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.835933685302734 y=0.929683685302734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.835933685302734 × 217)
    floor (0.835933685302734 × 131072)
    floor (109567.5)     		tx = 109567
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.929683685302734 × 217)
    floor (0.929683685302734 × 131072)
    floor (121855.5)     		ty = 121855
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 109567 / 121855 ti = "17/109567/121855"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/109567/121855.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 109567 ÷ 217
    109567 ÷ 131072     		x = 0.835929870605469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 121855 ÷ 217
    121855 ÷ 131072     		y = 0.929679870605469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.835929870605469 × 2 - 1) × π
    0.671859741210938 × 3.1415926535     		Λ = 2.11070963
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.929679870605469 × 2 - 1) × π
    -0.859359741210938 × 3.1415926535     		Φ = -2.69975824970194
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.11070963} λ = 2.11070963}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.69975824970194))-π/2
    2×atan(0.0672217616564968)-π/2
    2×0.0671207821769843-π/2
    0.134241564353969-1.57079632675     		φ = -1.43655476
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.11070963} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 120.934754°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.43655476 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.308525°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 109567 KachelY 121855 2.11070963 -1.43655476 120.934754 -82.308525
    Oben rechts KachelX + 1 109568 KachelY 121855 2.11075756 -1.43655476 120.937500 -82.308525
    Unten links KachelX 109567 KachelY + 1 121856 2.11070963 -1.43656118 120.934754 -82.308893
    Unten rechts KachelX + 1 109568 KachelY + 1 121856 2.11075756 -1.43656118 120.937500 -82.308893
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.43655476--1.43656118) × R
    6.42000000006249e-06 × 6371000     		dl = 40.9018200003981m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.43655476--1.43656118) × R
    6.42000000006249e-06 × 6371000     		dr = 40.9018200003981m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.11070963-2.11075756) × cos(-1.43655476) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.133838739897251 × 6371000     		do = 40.8692693076917m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.11070963-2.11075756) × cos(-1.43656118) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.133832377654437 × 6371000     		du = 40.8673265203106m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.43655476)-sin(-1.43656118))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.133838739897251-0.133832377654437)×R²
    abs(2.11075756-2.11070963)×6.36224281402864e-06×R²
    4.79300000000293e-05×6.36224281402864e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×6.36224281402864e-06×40589641000000     		ar = 1671.58776507287m²