Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 109120 / 129600
↖ ↑ ↗
← S 84.689806°
E119.707031°		 ← 28.27 m → S 84.689806°
E119.709778°		 →
↑
28.29 m
↓
↑
28.29 m
↓
S 84.690060°
E119.707031°		 ← 28.27 m →
800 m²		 S 84.690060°
E119.709778°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 109120 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 129600 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.832523345947266 y=0.988773345947266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.832523345947266 × 217)
    floor (0.832523345947266 × 131072)
    floor (109120.5)     		tx = 109120
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.988773345947266 × 217)
    floor (0.988773345947266 × 131072)
    floor (129600.5)     		ty = 129600
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 109120 / 129600 ti = "17/109120/129600"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/109120/129600.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 109120 ÷ 217
    109120 ÷ 131072     		x = 0.83251953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 129600 ÷ 217
    129600 ÷ 131072     		y = 0.98876953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.83251953125 × 2 - 1) × π
    0.6650390625 × 3.1415926535     		Λ = 2.08928183
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.98876953125 × 2 - 1) × π
    -0.9775390625 × 3.1415926535     		Φ = -3.07102953725928
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.08928183} λ = 2.08928183}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-3.07102953725928))-π/2
    2×atan(0.0463733871424273)-π/2
    2×0.0463401881173294-π/2
    0.0926803762346587-1.57079632675     		φ = -1.47811595
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.08928183} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 119.707031°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.47811595 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -84.689806°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 109120 KachelY 129600 2.08928183 -1.47811595 119.707031 -84.689806
    Oben rechts KachelX + 1 109121 KachelY 129600 2.08932977 -1.47811595 119.709778 -84.689806
    Unten links KachelX 109120 KachelY + 1 129601 2.08928183 -1.47812039 119.707031 -84.690060
    Unten rechts KachelX + 1 109121 KachelY + 1 129601 2.08932977 -1.47812039 119.709778 -84.690060
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.47811595--1.47812039) × R
    4.43999999988343e-06 × 6371000     		dl = 28.2872399992573m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.47811595--1.47812039) × R
    4.43999999988343e-06 × 6371000     		dr = 28.2872399992573m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.08928183-2.08932977) × cos(-1.47811595) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.0925477517334698 × 6371000     		do = 28.2664655585128m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.08928183-2.08932977) × cos(-1.47812039) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.0925433307879399 × 6371000     		du = 28.2651152879528m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.47811595)-sin(-1.47812039))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.0925477517334698-0.0925433307879399)×R²
    abs(2.08932977-2.08928183)×4.42094552989547e-06×R²
    4.79399999999686e-05×4.42094552989547e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×4.42094552989547e-06×40589641000000     		ar = 799.561197402633m²