Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 109120 / 123456
↖ ↑ ↗
← S 82.875218°
E119.707031°		 ← 37.88 m → S 82.875218°
E119.709778°		 →
↑
37.84 m
↓
↑
37.84 m
↓
S 82.875558°
E119.707031°		 ← 37.88 m →
1 434 m²		 S 82.875558°
E119.709778°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 109120 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 123456 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.832523345947266 y=0.941898345947266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.832523345947266 × 217)
    floor (0.832523345947266 × 131072)
    floor (109120.5)     		tx = 109120
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.941898345947266 × 217)
    floor (0.941898345947266 × 131072)
    floor (123456.5)     		ty = 123456
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 109120 / 123456 ti = "17/109120/123456"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/109120/123456.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 109120 ÷ 217
    109120 ÷ 131072     		x = 0.83251953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 123456 ÷ 217
    123456 ÷ 131072     		y = 0.94189453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.83251953125 × 2 - 1) × π
    0.6650390625 × 3.1415926535     		Λ = 2.08928183
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.94189453125 × 2 - 1) × π
    -0.8837890625 × 3.1415926535     		Φ = -2.77650522599365
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.08928183} λ = 2.08928183}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.77650522599365))-π/2
    2×atan(0.0622556972340131)-π/2
    2×0.0621754541278708-π/2
    0.124350908255742-1.57079632675     		φ = -1.44644542
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.08928183} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 119.707031°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.44644542 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.875218°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 109120 KachelY 123456 2.08928183 -1.44644542 119.707031 -82.875218
    Oben rechts KachelX + 1 109121 KachelY 123456 2.08932977 -1.44644542 119.709778 -82.875218
    Unten links KachelX 109120 KachelY + 1 123457 2.08928183 -1.44645136 119.707031 -82.875558
    Unten rechts KachelX + 1 109121 KachelY + 1 123457 2.08932977 -1.44645136 119.709778 -82.875558
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.44644542--1.44645136) × R
    5.93999999987105e-06 × 6371000     		dl = 37.8437399991785m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.44644542--1.44645136) × R
    5.93999999987105e-06 × 6371000     		dr = 37.8437399991785m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.08928183-2.08932977) × cos(-1.44644542) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.124030678402431 × 6371000     		do = 37.8821617337397m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.08928183-2.08932977) × cos(-1.44645136) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.124024784266644 × 6371000     		du = 37.8803615129552m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.44644542)-sin(-1.44645136))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.124030678402431-0.124024784266644)×R²
    abs(2.08932977-2.08928183)×5.89413578731823e-06×R²
    4.79399999999686e-05×5.89413578731823e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×5.89413578731823e-06×40589641000000     		ar = 1433.56861572275m²