Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1083 / 669
↖ ↑ ↗
← N 52.802761°
E 10.371094°		 ← 11.817 km → N 52.802761°
E 10.546875°		 →
↑
11.831 km
↓
↑
11.831 km
↓
N 52.696361°
E 10.371094°		 ← 11.846 km →
139.977 km²		 N 52.696361°
E 10.546875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1083 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 669 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.529052734375 y=0.326904296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.529052734375 × 211)
    floor (0.529052734375 × 2048)
    floor (1083.5)     		tx = 1083
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.326904296875 × 211)
    floor (0.326904296875 × 2048)
    floor (669.5)     		ty = 669
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1083 / 669 ti = "11/1083/669"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1083/669.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1083 ÷ 211
    1083 ÷ 2048     		x = 0.52880859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 669 ÷ 211
    669 ÷ 2048     		y = 0.32666015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52880859375 × 2 - 1) × π
    0.0576171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.18100973
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32666015625 × 2 - 1) × π
    0.3466796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.08912635936768
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.18100973} λ = 0.18100973}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08912635936768))-π/2
    2×atan(2.97167676060544)-π/2
    2×1.24618918381009-π/2
    2.49237836762017-1.57079632675     		φ = 0.92158204
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.18100973} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 10.371094°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92158204 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.802761°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1083 KachelY 669 0.18100973 0.92158204 10.371094 52.802761
    Oben rechts KachelX + 1 1084 KachelY 669 0.18407769 0.92158204 10.546875 52.802761
    Unten links KachelX 1083 KachelY + 1 670 0.18100973 0.91972500 10.371094 52.696361
    Unten rechts KachelX + 1 1084 KachelY + 1 670 0.18407769 0.91972500 10.546875 52.696361
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92158204-0.91972500) × R
    0.00185703999999998 × 6371000     		dl = 11831.2018399999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92158204-0.91972500) × R
    0.00185703999999998 × 6371000     		dr = 11831.2018399999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.18100973-0.18407769) × cos(0.92158204) × R
    0.00306795999999998 × 0.604560725443044 × 6371000     		do = 11816.7277130998m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.18100973-0.18407769) × cos(0.91972500) × R
    0.00306795999999998 × 0.606038924178641 × 6371000     		du = 11845.6205459109m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92158204)-sin(0.91972500))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.604560725443044-0.606038924178641)×R²
    abs(0.18407769-0.18100973)×0.00147819873559629×R²
    0.00306795999999998×0.00147819873559629×6371000²
    0.00306795999999998×0.00147819873559629×40589641000000     		ar = 139977049.357405m²