Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 10818 / 5950
↖ ↑ ↗
← N 44.119141°
E 57.700195°		 ← 1 753.97 m → N 44.119141°
E 57.722168°		 →
↑
1 754.19 m
↓
↑
1 754.19 m
↓
N 44.103366°
E 57.700195°		 ← 1 754.44 m →
3 077 207 m²		 N 44.103366°
E 57.722168°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10818 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5950 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.660308837890625 y=0.363189697265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.660308837890625 × 214)
    floor (0.660308837890625 × 16384)
    floor (10818.5)     		tx = 10818
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.363189697265625 × 214)
    floor (0.363189697265625 × 16384)
    floor (5950.5)     		ty = 5950
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10818 / 5950 ti = "14/10818/5950"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10818/5950.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10818 ÷ 214
    10818 ÷ 16384     		x = 0.6602783203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5950 ÷ 214
    5950 ÷ 16384     		y = 0.3631591796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6602783203125 × 2 - 1) × π
    0.320556640625 × 3.1415926535     		Λ = 1.00705839
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3631591796875 × 2 - 1) × π
    0.273681640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.859796231585327
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.00705839} λ = 1.00705839}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.859796231585327))-π/2
    2×atan(2.36267920525536)-π/2
    2×1.17041030469621-π/2
    2.34082060939241-1.57079632675     		φ = 0.77002428
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.00705839} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 57.700195°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.77002428 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.119141°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10818 KachelY 5950 1.00705839 0.77002428 57.700195 44.119141
    Oben rechts KachelX + 1 10819 KachelY 5950 1.00744188 0.77002428 57.722168 44.119141
    Unten links KachelX 10818 KachelY + 1 5951 1.00705839 0.76974894 57.700195 44.103366
    Unten rechts KachelX + 1 10819 KachelY + 1 5951 1.00744188 0.76974894 57.722168 44.103366
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.77002428-0.76974894) × R
    0.000275339999999957 × 6371000     		dl = 1754.19113999973m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.77002428-0.76974894) × R
    0.000275339999999957 × 6371000     		dr = 1754.19113999973m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.00705839-1.00744188) × cos(0.77002428) × R
    0.000383489999999931 × 0.71789376723574 × 6371000     		do = 1753.96866975886m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.00705839-1.00744188) × cos(0.76974894) × R
    0.000383489999999931 × 0.718085418696759 × 6371000     		du = 1754.43691544295m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.77002428)-sin(0.76974894))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.71789376723574-0.718085418696759)×R²
    abs(1.00744188-1.00705839)×0.000191651461018738×R²
    0.000383489999999931×0.000191651461018738×6371000²
    0.000383489999999931×0.000191651461018738×40589641000000     		ar = 3077207.01598475m²