Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10816 / 5951
↖ ↑ ↗
← N 44.103366°
E 57.656250°		 ← 1 754.44 m → N 44.103366°
E 57.678223°		 →
↑
1 754.70 m
↓
↑
1 754.70 m
↓
N 44.087585°
E 57.656250°		 ← 1 754.91 m →
3 078 923 m²		 N 44.087585°
E 57.678223°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10816 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5951 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.660186767578125 y=0.363250732421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.660186767578125 × 214)
    floor (0.660186767578125 × 16384)
    floor (10816.5)     		tx = 10816
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.363250732421875 × 214)
    floor (0.363250732421875 × 16384)
    floor (5951.5)     		ty = 5951
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10816 / 5951 ti = "14/10816/5951"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10816/5951.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10816 ÷ 214
    10816 ÷ 16384     		x = 0.66015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5951 ÷ 214
    5951 ÷ 16384     		y = 0.36322021484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.66015625 × 2 - 1) × π
    0.3203125 × 3.1415926535     		Λ = 1.00629140
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.36322021484375 × 2 - 1) × π
    0.2735595703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.859412736388367
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.00629140} λ = 1.00629140}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.859412736388367))-π/2
    2×atan(2.3617733028439)-π/2
    2×1.17027263191594-π/2
    2.34054526383189-1.57079632675     		φ = 0.76974894
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.00629140} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 57.656250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.76974894 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.103366°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10816 KachelY 5951 1.00629140 0.76974894 57.656250 44.103366
    Oben rechts KachelX + 1 10817 KachelY 5951 1.00667489 0.76974894 57.678223 44.103366
    Unten links KachelX 10816 KachelY + 1 5952 1.00629140 0.76947352 57.656250 44.087585
    Unten rechts KachelX + 1 10817 KachelY + 1 5952 1.00667489 0.76947352 57.678223 44.087585
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.76974894-0.76947352) × R
    0.000275420000000026 × 6371000     		dl = 1754.70082000017m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.76974894-0.76947352) × R
    0.000275420000000026 × 6371000     		dr = 1754.70082000017m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.00629140-1.00667489) × cos(0.76974894) × R
    0.000383489999999931 × 0.718085418696759 × 6371000     		do = 1754.43691544295m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.00629140-1.00667489) × cos(0.76947352) × R
    0.000383489999999931 × 0.71827707137878 × 6371000     		du = 1754.9051641102m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.76974894)-sin(0.76947352))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.718085418696759-0.71827707137878)×R²
    abs(1.00667489-1.00629140)×0.000191652682020815×R²
    0.000383489999999931×0.000191652682020815×6371000²
    0.000383489999999931×0.000191652682020815×40589641000000     		ar = 3078922.73178916m²