Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10815 / 5951
↖ ↑ ↗
← N 44.103366°
E 57.634277°		 ← 1 754.48 m → N 44.103366°
E 57.656250°		 →
↑
1 754.70 m
↓
↑
1 754.70 m
↓
N 44.087585°
E 57.634277°		 ← 1 754.95 m →
3 079 003 m²		 N 44.087585°
E 57.656250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10815 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5951 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.660125732421875 y=0.363250732421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.660125732421875 × 214)
    floor (0.660125732421875 × 16384)
    floor (10815.5)     		tx = 10815
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.363250732421875 × 214)
    floor (0.363250732421875 × 16384)
    floor (5951.5)     		ty = 5951
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10815 / 5951 ti = "14/10815/5951"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10815/5951.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10815 ÷ 214
    10815 ÷ 16384     		x = 0.66009521484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5951 ÷ 214
    5951 ÷ 16384     		y = 0.36322021484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.66009521484375 × 2 - 1) × π
    0.3201904296875 × 3.1415926535     		Λ = 1.00590790
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.36322021484375 × 2 - 1) × π
    0.2735595703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.859412736388367
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.00590790} λ = 1.00590790}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.859412736388367))-π/2
    2×atan(2.3617733028439)-π/2
    2×1.17027263191594-π/2
    2.34054526383189-1.57079632675     		φ = 0.76974894
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.00590790} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 57.634277°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.76974894 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.103366°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10815 KachelY 5951 1.00590790 0.76974894 57.634277 44.103366
    Oben rechts KachelX + 1 10816 KachelY 5951 1.00629140 0.76974894 57.656250 44.103366
    Unten links KachelX 10815 KachelY + 1 5952 1.00590790 0.76947352 57.634277 44.087585
    Unten rechts KachelX + 1 10816 KachelY + 1 5952 1.00629140 0.76947352 57.656250 44.087585
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.76974894-0.76947352) × R
    0.000275420000000026 × 6371000     		dl = 1754.70082000017m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.76974894-0.76947352) × R
    0.000275420000000026 × 6371000     		dr = 1754.70082000017m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.00590790-1.00629140) × cos(0.76974894) × R
    0.000383500000000092 × 0.718085418696759 × 6371000     		do = 1754.48266466571m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.00590790-1.00629140) × cos(0.76947352) × R
    0.000383500000000092 × 0.71827707137878 × 6371000     		du = 1754.95092554316m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.76974894)-sin(0.76947352))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.718085418696759-0.71827707137878)×R²
    abs(1.00629140-1.00590790)×0.000191652682020815×R²
    0.000383500000000092×0.000191652682020815×6371000²
    0.000383500000000092×0.000191652682020815×40589641000000     		ar = 3079003.01870098m²