Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1081 / 670
↖ ↑ ↗
← N 52.696361°
E 10.019531°		 ← 11.846 km → N 52.696361°
E 10.195312°		 →
↑
11.860 km
↓
↑
11.860 km
↓
N 52.589701°
E 10.019531°		 ← 11.875 km →
140.661 km²		 N 52.589701°
E 10.195312°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1081 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 670 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.528076171875 y=0.327392578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.528076171875 × 211)
    floor (0.528076171875 × 2048)
    floor (1081.5)     		tx = 1081
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.327392578125 × 211)
    floor (0.327392578125 × 2048)
    floor (670.5)     		ty = 670
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1081 / 670 ti = "11/1081/670"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1081/670.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1081 ÷ 211
    1081 ÷ 2048     		x = 0.52783203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 670 ÷ 211
    670 ÷ 2048     		y = 0.3271484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52783203125 × 2 - 1) × π
    0.0556640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.17487381
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3271484375 × 2 - 1) × π
    0.345703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.08605839779199
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.17487381} λ = 0.17487381}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08605839779199))-π/2
    2×atan(2.96257374148508)-π/2
    2×1.24526066570588-π/2
    2.49052133141176-1.57079632675     		φ = 0.91972500
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.17487381} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 10.019531°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91972500 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.696361°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1081 KachelY 670 0.17487381 0.91972500 10.019531 52.696361
    Oben rechts KachelX + 1 1082 KachelY 670 0.17794177 0.91972500 10.195312 52.696361
    Unten links KachelX 1081 KachelY + 1 671 0.17487381 0.91786343 10.019531 52.589701
    Unten rechts KachelX + 1 1082 KachelY + 1 671 0.17794177 0.91786343 10.195312 52.589701
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91972500-0.91786343) × R
    0.00186156999999998 × 6371000     		dl = 11860.0624699999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91972500-0.91786343) × R
    0.00186156999999998 × 6371000     		dr = 11860.0624699999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.17487381-0.17794177) × cos(0.91972500) × R
    0.00306796000000001 × 0.606038924178641 × 6371000     		do = 11845.620545911m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.17487381-0.17794177) × cos(0.91786343) × R
    0.00306796000000001 × 0.607518631140303 × 6371000     		du = 11874.5428584683m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91972500)-sin(0.91786343))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.606038924178641-0.607518631140303)×R²
    abs(0.17794177-0.17487381)×0.00147970696166277×R²
    0.00306796000000001×0.00147970696166277×6371000²
    0.00306796000000001×0.00147970696166277×40589641000000     		ar = 140661350.508437m²