Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108031 / 130561
↖ ↑ ↗
← S 84.928564°
E116.716003°		 ← 27 m → S 84.928564°
E116.718750°		 →
↑
26.95 m
↓
↑
26.95 m
↓
S 84.928806°
E116.716003°		 ← 27 m →
728 m²		 S 84.928806°
E116.718750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108031 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 130561 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.824214935302734 y=0.996105194091797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.824214935302734 × 217)
    floor (0.824214935302734 × 131072)
    floor (108031.5)     		tx = 108031
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.996105194091797 × 217)
    floor (0.996105194091797 × 131072)
    floor (130561.5)     		ty = 130561
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108031 / 130561 ti = "17/108031/130561"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108031/130561.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108031 ÷ 217
    108031 ÷ 131072     		x = 0.824211120605469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 130561 ÷ 217
    130561 ÷ 131072     		y = 0.996101379394531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.824211120605469 × 2 - 1) × π
    0.648422241210938 × 3.1415926535     		Λ = 2.03707855
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.996101379394531 × 2 - 1) × π
    -0.992202758789062 × 3.1415926535     		Φ = -3.11709689779415
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.03707855} λ = 2.03707855}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-3.11709689779415))-π/2
    2×atan(0.0442855474512961)-π/2
    2×0.0442566303891942-π/2
    0.0885132607783884-1.57079632675     		φ = -1.48228307
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.03707855} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.716003°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.48228307 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -84.928564°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108031 KachelY 130561 2.03707855 -1.48228307 116.716003 -84.928564
    Oben rechts KachelX + 1 108032 KachelY 130561 2.03712649 -1.48228307 116.718750 -84.928564
    Unten links KachelX 108031 KachelY + 1 130562 2.03707855 -1.48228730 116.716003 -84.928806
    Unten rechts KachelX + 1 108032 KachelY + 1 130562 2.03712649 -1.48228730 116.718750 -84.928806
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.48228307--1.48228730) × R
    4.23000000004947e-06 × 6371000     		dl = 26.9493300003152m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.48228307--1.48228730) × R
    4.23000000004947e-06 × 6371000     		dr = 26.9493300003152m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.03707855-2.03712649) × cos(-1.48228307) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.0883977244511069 × 6371000     		do = 26.9989404047777m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.03707855-2.03712649) × cos(-1.48228730) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.0883935110096724 × 6371000     		du = 26.9976535113096m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.48228307)-sin(-1.48228730))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.0883977244511069-0.0883935110096724)×R²
    abs(2.03712649-2.03707855)×4.21344143457236e-06×R²
    4.79399999999686e-05×4.21344143457236e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×4.21344143457236e-06×40589641000000     		ar = 727.586014102601m²