Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108031 / 122369
↖ ↑ ↗
← S 82.495182°
E116.716003°		 ← 39.89 m → S 82.495182°
E116.718750°		 →
↑
39.88 m
↓
↑
39.88 m
↓
S 82.495541°
E116.716003°		 ← 39.89 m →
1 591 m²		 S 82.495541°
E116.718750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108031 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 122369 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.824214935302734 y=0.933605194091797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.824214935302734 × 217)
    floor (0.824214935302734 × 131072)
    floor (108031.5)     		tx = 108031
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.933605194091797 × 217)
    floor (0.933605194091797 × 131072)
    floor (122369.5)     		ty = 122369
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108031 / 122369 ti = "17/108031/122369"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108031/122369.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108031 ÷ 217
    108031 ÷ 131072     		x = 0.824211120605469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 122369 ÷ 217
    122369 ÷ 131072     		y = 0.933601379394531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.824211120605469 × 2 - 1) × π
    0.648422241210938 × 3.1415926535     		Λ = 2.03707855
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.933601379394531 × 2 - 1) × π
    -0.867202758789062 × 3.1415926535     		Φ = -2.72439781610665
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.03707855} λ = 2.03707855}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.72439781610665))-π/2
    2×atan(0.0655856854723175)-π/2
    2×0.0654918888806497-π/2
    0.130983777761299-1.57079632675     		φ = -1.43981255
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.03707855} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.716003°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.43981255 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.495182°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108031 KachelY 122369 2.03707855 -1.43981255 116.716003 -82.495182
    Oben rechts KachelX + 1 108032 KachelY 122369 2.03712649 -1.43981255 116.718750 -82.495182
    Unten links KachelX 108031 KachelY + 1 122370 2.03707855 -1.43981881 116.716003 -82.495541
    Unten rechts KachelX + 1 108032 KachelY + 1 122370 2.03712649 -1.43981881 116.718750 -82.495541
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.43981255--1.43981881) × R
    6.25999999992466e-06 × 6371000     		dl = 39.88245999952m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.43981255--1.43981881) × R
    6.25999999992466e-06 × 6371000     		dr = 39.88245999952m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.03707855-2.03712649) × cos(-1.43981255) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.130609555313044 × 6371000     		do = 39.8915200825312m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.03707855-2.03712649) × cos(-1.43981881) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.130603348934378 × 6371000     		du = 39.8896244947345m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.43981255)-sin(-1.43981881))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.130609555313044-0.130603348934378)×R²
    abs(2.03712649-2.03707855)×6.20637866566298e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.20637866566298e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.20637866566298e-06×40589641000000     		ar = 1590.93415360529m²