Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10801 / 5615
↖ ↑ ↗
← N 49.167338°
E 57.326660°		 ← 1 597.50 m → N 49.167338°
E 57.348633°		 →
↑
1 597.72 m
↓
↑
1 597.72 m
↓
N 49.152970°
E 57.326660°		 ← 1 597.96 m →
2 552 729 m²		 N 49.152970°
E 57.348633°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10801 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5615 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.659271240234375 y=0.342742919921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.659271240234375 × 214)
    floor (0.659271240234375 × 16384)
    floor (10801.5)     		tx = 10801
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.342742919921875 × 214)
    floor (0.342742919921875 × 16384)
    floor (5615.5)     		ty = 5615
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10801 / 5615 ti = "14/10801/5615"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10801/5615.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10801 ÷ 214
    10801 ÷ 16384     		x = 0.65924072265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5615 ÷ 214
    5615 ÷ 16384     		y = 0.34271240234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.65924072265625 × 2 - 1) × π
    0.3184814453125 × 3.1415926535     		Λ = 1.00053897
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34271240234375 × 2 - 1) × π
    0.3145751953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.988267122567078
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.00053897} λ = 1.00053897}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.988267122567078))-π/2
    2×atan(2.68657493123824)-π/2
    2×1.21446413494956-π/2
    2.42892826989913-1.57079632675     		φ = 0.85813194
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.00053897} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 57.326660°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85813194 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.167338°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10801 KachelY 5615 1.00053897 0.85813194 57.326660 49.167338
    Oben rechts KachelX + 1 10802 KachelY 5615 1.00092246 0.85813194 57.348633 49.167338
    Unten links KachelX 10801 KachelY + 1 5616 1.00053897 0.85788116 57.326660 49.152970
    Unten rechts KachelX + 1 10802 KachelY + 1 5616 1.00092246 0.85788116 57.348633 49.152970
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85813194-0.85788116) × R
    0.000250780000000006 × 6371000     		dl = 1597.71938000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85813194-0.85788116) × R
    0.000250780000000006 × 6371000     		dr = 1597.71938000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.00053897-1.00092246) × cos(0.85813194) × R
    0.000383489999999931 × 0.653852024330439 × 6371000     		do = 1597.50093631528m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.00053897-1.00092246) × cos(0.85788116) × R
    0.000383489999999931 × 0.654041749545626 × 6371000     		du = 1597.96447576706m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85813194)-sin(0.85788116))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.653852024330439-0.654041749545626)×R²
    abs(1.00092246-1.00053897)×0.000189725215187009×R²
    0.000383489999999931×0.000189725215187009×6371000²
    0.000383489999999931×0.000189725215187009×40589641000000     		ar = 2552728.52188111m²