Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1080 / 1027
↖ ↑ ↗
← S  0.527336°
E  9.843750°		 ← 19.545 km → S  0.527336°
E 10.019531°		 →
↑
19.545 km
↓
↑
19.545 km
↓
S  0.703107°
E  9.843750°		 ← 19.545 km →
382.002 km²		 S  0.703107°
E 10.019531°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1080 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1027 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.527587890625 y=0.501708984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.527587890625 × 211)
    floor (0.527587890625 × 2048)
    floor (1080.5)     		tx = 1080
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.501708984375 × 211)
    floor (0.501708984375 × 2048)
    floor (1027.5)     		ty = 1027
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1080 / 1027 ti = "11/1080/1027"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1080/1027.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1080 ÷ 211
    1080 ÷ 2048     		x = 0.52734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1027 ÷ 211
    1027 ÷ 2048     		y = 0.50146484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52734375 × 2 - 1) × π
    0.0546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.17180585
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.50146484375 × 2 - 1) × π
    -0.0029296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.00920388472705078
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.17180585} λ = 0.17180585}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.00920388472705078))-π/2
    2×atan(0.990838341372631)-π/2
    2×0.780796286005449-π/2
    1.5615925720109-1.57079632675     		φ = -0.00920375
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.17180585} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.843750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.00920375 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.527336°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1080 KachelY 1027 0.17180585 -0.00920375 9.843750 -0.527336
    Oben rechts KachelX + 1 1081 KachelY 1027 0.17487381 -0.00920375 10.019531 -0.527336
    Unten links KachelX 1080 KachelY + 1 1028 0.17180585 -0.01227154 9.843750 -0.703107
    Unten rechts KachelX + 1 1081 KachelY + 1 1028 0.17487381 -0.01227154 10.019531 -0.703107
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.00920375--0.01227154) × R
    0.00306779 × 6371000     		dl = 19544.89009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.00920375--0.01227154) × R
    0.00306779 × 6371000     		dr = 19544.89009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.17180585-0.17487381) × cos(-0.00920375) × R
    0.00306795999999998 × 0.999957645791952 × 6371000     		do = 19545.1453057862m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.17180585-0.17487381) × cos(-0.01227154) × R
    0.00306795999999998 × 0.999924705597908 × 6371000     		du = 19544.5014576375m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.00920375)-sin(-0.01227154))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999957645791952-0.999924705597908)×R²
    abs(0.17487381-0.17180585)×3.29401940442065e-05×R²
    0.00306795999999998×3.29401940442065e-05×6371000²
    0.00306795999999998×3.29401940442065e-05×40589641000000     		ar = 382001724.419598m²