Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10799 / 5617
↖ ↑ ↗
← N 49.138597°
E 57.282715°		 ← 1 598.43 m → N 49.138597°
E 57.304687°		 →
↑
1 598.68 m
↓
↑
1 598.68 m
↓
N 49.124219°
E 57.282715°		 ← 1 598.89 m →
2 555 738 m²		 N 49.124219°
E 57.304687°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10799 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5617 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.659149169921875 y=0.342864990234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.659149169921875 × 214)
    floor (0.659149169921875 × 16384)
    floor (10799.5)     		tx = 10799
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.342864990234375 × 214)
    floor (0.342864990234375 × 16384)
    floor (5617.5)     		ty = 5617
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10799 / 5617 ti = "14/10799/5617"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10799/5617.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10799 ÷ 214
    10799 ÷ 16384     		x = 0.65911865234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5617 ÷ 214
    5617 ÷ 16384     		y = 0.34283447265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.65911865234375 × 2 - 1) × π
    0.3182373046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.99977198
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34283447265625 × 2 - 1) × π
    0.3143310546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.987500132173157
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.99977198} λ = 0.99977198}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.987500132173157))-π/2
    2×atan(2.68451514409289)-π/2
    2×1.21421331307842-π/2
    2.42842662615684-1.57079632675     		φ = 0.85763030
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.99977198} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 57.282715°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85763030 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.138597°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10799 KachelY 5617 0.99977198 0.85763030 57.282715 49.138597
    Oben rechts KachelX + 1 10800 KachelY 5617 1.00015547 0.85763030 57.304687 49.138597
    Unten links KachelX 10799 KachelY + 1 5618 0.99977198 0.85737937 57.282715 49.124219
    Unten rechts KachelX + 1 10800 KachelY + 1 5618 1.00015547 0.85737937 57.304687 49.124219
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85763030-0.85737937) × R
    0.000250929999999983 × 6371000     		dl = 1598.67502999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85763030-0.85737937) × R
    0.000250929999999983 × 6371000     		dr = 1598.67502999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.99977198-1.00015547) × cos(0.85763030) × R
    0.000383489999999931 × 0.65423149413128 × 6371000     		do = 1598.42806254505m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.99977198-1.00015547) × cos(0.85737937) × R
    0.000383489999999931 × 0.654421250474776 × 6371000     		du = 1598.89167804998m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85763030)-sin(0.85737937))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.65423149413128-0.654421250474776)×R²
    abs(1.00015547-0.99977198)×0.000189756343495828×R²
    0.000383489999999931×0.000189756343495828×6371000²
    0.000383489999999931×0.000189756343495828×40589641000000     		ar = 2555737.62951744m²