Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107908 / 122244
↖ ↑ ↗
← S 82.450208°
E116.378174°		 ← 40.13 m → S 82.450208°
E116.380921°		 →
↑
40.14 m
↓
↑
40.14 m
↓
S 82.450568°
E116.378174°		 ← 40.13 m →
1 611 m²		 S 82.450568°
E116.380921°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107908 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 122244 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.823276519775391 y=0.932651519775391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.823276519775391 × 217)
    floor (0.823276519775391 × 131072)
    floor (107908.5)     		tx = 107908
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.932651519775391 × 217)
    floor (0.932651519775391 × 131072)
    floor (122244.5)     		ty = 122244
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107908 / 122244 ti = "17/107908/122244"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107908/122244.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107908 ÷ 217
    107908 ÷ 131072     		x = 0.823272705078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 122244 ÷ 217
    122244 ÷ 131072     		y = 0.932647705078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.823272705078125 × 2 - 1) × π
    0.64654541015625 × 3.1415926535     		Λ = 2.03118231
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.932647705078125 × 2 - 1) × π
    -0.86529541015625 × 3.1415926535     		Φ = -2.71840570365414
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.03118231} λ = 2.03118231}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.71840570365414))-π/2
    2×atan(0.0659798620707724)-π/2
    2×0.0658843670744439-π/2
    0.131768734148888-1.57079632675     		φ = -1.43902759
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.03118231} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.378174°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.43902759 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.450208°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107908 KachelY 122244 2.03118231 -1.43902759 116.378174 -82.450208
    Oben rechts KachelX + 1 107909 KachelY 122244 2.03123025 -1.43902759 116.380921 -82.450208
    Unten links KachelX 107908 KachelY + 1 122245 2.03118231 -1.43903389 116.378174 -82.450568
    Unten rechts KachelX + 1 107909 KachelY + 1 122245 2.03123025 -1.43903389 116.380921 -82.450568
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.43902759--1.43903389) × R
    6.2999999999036e-06 × 6371000     		dl = 40.1372999993859m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.43902759--1.43903389) × R
    6.2999999999036e-06 × 6371000     		dr = 40.1372999993859m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.03118231-2.03123025) × cos(-1.43902759) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.131387750935472 × 6371000     		do = 40.1292010563758m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.03118231-2.03123025) × cos(-1.43903389) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.131381505547223 × 6371000     		du = 40.1272935540485m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.43902759)-sin(-1.43903389))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.131387750935472-0.131381505547223)×R²
    abs(2.03123025-2.03118231)×6.2453882483382e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.2453882483382e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.2453882483382e-06×40589641000000     		ar = 1610.63950053038m²