Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107664 / 122000
↖ ↑ ↗
← S 82.361644°
E115.708008°		 ← 40.59 m → S 82.361644°
E115.710754°		 →
↑
40.58 m
↓
↑
40.58 m
↓
S 82.362009°
E115.708008°		 ← 40.59 m →
1 647 m²		 S 82.362009°
E115.710754°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107664 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 122000 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.821414947509766 y=0.930789947509766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.821414947509766 × 217)
    floor (0.821414947509766 × 131072)
    floor (107664.5)     		tx = 107664
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.930789947509766 × 217)
    floor (0.930789947509766 × 131072)
    floor (122000.5)     		ty = 122000
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107664 / 122000 ti = "17/107664/122000"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107664/122000.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107664 ÷ 217
    107664 ÷ 131072     		x = 0.8214111328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 122000 ÷ 217
    122000 ÷ 131072     		y = 0.9307861328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8214111328125 × 2 - 1) × π
    0.642822265625 × 3.1415926535     		Λ = 2.01948571
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9307861328125 × 2 - 1) × π
    -0.861572265625 × 3.1415926535     		Φ = -2.70670910014685
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01948571} λ = 2.01948571}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.70670910014685))-π/2
    2×atan(0.0667561333755591)-π/2
    2×0.0666572340851829-π/2
    0.133314468170366-1.57079632675     		φ = -1.43748186
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01948571} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.708008°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.43748186 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.361644°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107664 KachelY 122000 2.01948571 -1.43748186 115.708008 -82.361644
    Oben rechts KachelX + 1 107665 KachelY 122000 2.01953364 -1.43748186 115.710754 -82.361644
    Unten links KachelX 107664 KachelY + 1 122001 2.01948571 -1.43748823 115.708008 -82.362009
    Unten rechts KachelX + 1 107665 KachelY + 1 122001 2.01953364 -1.43748823 115.710754 -82.362009
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.43748186--1.43748823) × R
    6.37000000014432e-06 × 6371000     		dl = 40.5832700009194m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.43748186--1.43748823) × R
    6.37000000014432e-06 × 6371000     		dr = 40.5832700009194m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01948571-2.01953364) × cos(-1.43748186) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.132919923514482 × 6371000     		do = 40.5886976718518m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01948571-2.01953364) × cos(-1.43748823) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.132913610034197 × 6371000     		du = 40.5867697746955m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.43748186)-sin(-1.43748823))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.132919923514482-0.132913610034197)×R²
    abs(2.01953364-2.01948571)×6.31348028512502e-06×R²
    4.79300000000293e-05×6.31348028512502e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×6.31348028512502e-06×40589641000000     		ar = 1647.18295642973m²