Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107652 / 121988
↖ ↑ ↗
← S 82.357262°
E115.675049°		 ← 40.62 m → S 82.357262°
E115.677795°		 →
↑
40.58 m
↓
↑
40.58 m
↓
S 82.357627°
E115.675049°		 ← 40.62 m →
1 648 m²		 S 82.357627°
E115.677795°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107652 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 121988 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.821323394775391 y=0.930698394775391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.821323394775391 × 217)
    floor (0.821323394775391 × 131072)
    floor (107652.5)     		tx = 107652
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.930698394775391 × 217)
    floor (0.930698394775391 × 131072)
    floor (121988.5)     		ty = 121988
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107652 / 121988 ti = "17/107652/121988"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107652/121988.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107652 ÷ 217
    107652 ÷ 131072     		x = 0.821319580078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 121988 ÷ 217
    121988 ÷ 131072     		y = 0.930694580078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.821319580078125 × 2 - 1) × π
    0.64263916015625 × 3.1415926535     		Λ = 2.01891046
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.930694580078125 × 2 - 1) × π
    -0.86138916015625 × 3.1415926535     		Φ = -2.70613385735141
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01891046} λ = 2.01891046}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.70613385735141))-π/2
    2×atan(0.066794545407398)-π/2
    2×0.0666954756001687-π/2
    0.133390951200337-1.57079632675     		φ = -1.43740538
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01891046} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.675049°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.43740538 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.357262°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107652 KachelY 121988 2.01891046 -1.43740538 115.675049 -82.357262
    Oben rechts KachelX + 1 107653 KachelY 121988 2.01895840 -1.43740538 115.677795 -82.357262
    Unten links KachelX 107652 KachelY + 1 121989 2.01891046 -1.43741175 115.675049 -82.357627
    Unten rechts KachelX + 1 107653 KachelY + 1 121989 2.01895840 -1.43741175 115.677795 -82.357627
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.43740538--1.43741175) × R
    6.37000000014432e-06 × 6371000     		dl = 40.5832700009194m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.43740538--1.43741175) × R
    6.37000000014432e-06 × 6371000     		dr = 40.5832700009194m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01891046-2.01895840) × cos(-1.43740538) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.132995724501801 × 6371000     		do = 40.6203175727722m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01891046-2.01895840) × cos(-1.43741175) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.132989411086289 × 6371000     		du = 40.6183892931674m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.43740538)-sin(-1.43741175))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.132995724501801-0.132989411086289)×R²
    abs(2.01895840-2.01891046)×6.31341551257658e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.31341551257658e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.31341551257658e-06×40589641000000     		ar = 1648.4661877239m²