Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107600 / 121936
↖ ↑ ↗
← S 82.338243°
E115.532227°		 ← 40.71 m → S 82.338243°
E115.534973°		 →
↑
40.77 m
↓
↑
40.77 m
↓
S 82.338610°
E115.532227°		 ← 40.71 m →
1 660 m²		 S 82.338610°
E115.534973°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107600 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 121936 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820926666259766 y=0.930301666259766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820926666259766 × 217)
    floor (0.820926666259766 × 131072)
    floor (107600.5)     		tx = 107600
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.930301666259766 × 217)
    floor (0.930301666259766 × 131072)
    floor (121936.5)     		ty = 121936
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107600 / 121936 ti = "17/107600/121936"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107600/121936.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107600 ÷ 217
    107600 ÷ 131072     		x = 0.8209228515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 121936 ÷ 217
    121936 ÷ 131072     		y = 0.9302978515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8209228515625 × 2 - 1) × π
    0.641845703125 × 3.1415926535     		Λ = 2.01641775
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9302978515625 × 2 - 1) × π
    -0.860595703125 × 3.1415926535     		Φ = -2.70364113857117
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01641775} λ = 2.01641775}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.70364113857117))-π/2
    2×atan(0.0669612531165496)-π/2
    2×0.066861441003217-π/2
    0.133722882006434-1.57079632675     		φ = -1.43707344
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01641775} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.532227°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.43707344 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.338243°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107600 KachelY 121936 2.01641775 -1.43707344 115.532227 -82.338243
    Oben rechts KachelX + 1 107601 KachelY 121936 2.01646568 -1.43707344 115.534973 -82.338243
    Unten links KachelX 107600 KachelY + 1 121937 2.01641775 -1.43707984 115.532227 -82.338610
    Unten rechts KachelX + 1 107601 KachelY + 1 121937 2.01646568 -1.43707984 115.534973 -82.338610
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.43707344--1.43707984) × R
    6.39999999996199e-06 × 6371000     		dl = 40.7743999997578m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.43707344--1.43707984) × R
    6.39999999996199e-06 × 6371000     		dr = 40.7743999997578m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01641775-2.01646568) × cos(-1.43707344) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.133324708416715 × 6371000     		do = 40.7123036113111m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01641775-2.01646568) × cos(-1.43707984) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.13331836555056 × 6371000     		du = 40.7103667408259m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.43707344)-sin(-1.43707984))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.133324708416715-0.13331836555056)×R²
    abs(2.01646568-2.01641775)×6.34286615525115e-06×R²
    4.79300000000293e-05×6.34286615525115e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×6.34286615525115e-06×40589641000000     		ar = 1659.98026504982m²