Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107586 / 121922
↖ ↑ ↗
← S 82.333115°
E115.493774°		 ← 40.75 m → S 82.333115°
E115.496521°		 →
↑
40.71 m
↓
↑
40.71 m
↓
S 82.333481°
E115.493774°		 ← 40.75 m →
1 659 m²		 S 82.333481°
E115.496521°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107586 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 121922 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820819854736328 y=0.930194854736328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820819854736328 × 217)
    floor (0.820819854736328 × 131072)
    floor (107586.5)     		tx = 107586
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.930194854736328 × 217)
    floor (0.930194854736328 × 131072)
    floor (121922.5)     		ty = 121922
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107586 / 121922 ti = "17/107586/121922"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107586/121922.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107586 ÷ 217
    107586 ÷ 131072     		x = 0.820816040039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 121922 ÷ 217
    121922 ÷ 131072     		y = 0.930191040039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.820816040039062 × 2 - 1) × π
    0.641632080078125 × 3.1415926535     		Λ = 2.01574663
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.930191040039062 × 2 - 1) × π
    -0.860382080078125 × 3.1415926535     		Φ = -2.70297002197649
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01574663} λ = 2.01574663}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.70297002197649))-π/2
    2×atan(0.0670062070076806)-π/2
    2×0.066906194095268-π/2
    0.133812388190536-1.57079632675     		φ = -1.43698394
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01574663} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.493774°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.43698394 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.333115°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107586 KachelY 121922 2.01574663 -1.43698394 115.493774 -82.333115
    Oben rechts KachelX + 1 107587 KachelY 121922 2.01579457 -1.43698394 115.496521 -82.333115
    Unten links KachelX 107586 KachelY + 1 121923 2.01574663 -1.43699033 115.493774 -82.333481
    Unten rechts KachelX + 1 107587 KachelY + 1 121923 2.01579457 -1.43699033 115.496521 -82.333481
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.43698394--1.43699033) × R
    6.39000000002277e-06 × 6371000     		dl = 40.710690000145m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.43698394--1.43699033) × R
    6.39000000002277e-06 × 6371000     		dr = 40.710690000145m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01574663-2.01579457) × cos(-1.43698394) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.133413408863321 × 6371000     		do = 40.7478891279758m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01574663-2.01579457) × cos(-1.43699033) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.133407075984171 × 6371000     		du = 40.7459549036751m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.43698394)-sin(-1.43699033))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.133413408863321-0.133407075984171)×R²
    abs(2.01579457-2.01574663)×6.33287915005609e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.33287915005609e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.33287915005609e-06×40589641000000     		ar = 1658.83531066288m²