Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107585 / 121921
↖ ↑ ↗
← S 82.332748°
E115.491028°		 ← 40.75 m → S 82.332748°
E115.493774°		 →
↑
40.77 m
↓
↑
40.77 m
↓
S 82.333115°
E115.491028°		 ← 40.75 m →
1 662 m²		 S 82.333115°
E115.493774°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107585 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 121921 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820812225341797 y=0.930187225341797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820812225341797 × 217)
    floor (0.820812225341797 × 131072)
    floor (107585.5)     		tx = 107585
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.930187225341797 × 217)
    floor (0.930187225341797 × 131072)
    floor (121921.5)     		ty = 121921
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107585 / 121921 ti = "17/107585/121921"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107585/121921.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107585 ÷ 217
    107585 ÷ 131072     		x = 0.820808410644531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 121921 ÷ 217
    121921 ÷ 131072     		y = 0.930183410644531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.820808410644531 × 2 - 1) × π
    0.641616821289062 × 3.1415926535     		Λ = 2.01569869
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.930183410644531 × 2 - 1) × π
    -0.860366821289062 × 3.1415926535     		Φ = -2.70292208507687
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01569869} λ = 2.01569869}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.70292208507687))-π/2
    2×atan(0.0670094191544894)-π/2
    2×0.0669093918838557-π/2
    0.133818783767711-1.57079632675     		φ = -1.43697754
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01569869} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.491028°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.43697754 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.332748°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107585 KachelY 121921 2.01569869 -1.43697754 115.491028 -82.332748
    Oben rechts KachelX + 1 107586 KachelY 121921 2.01574663 -1.43697754 115.493774 -82.332748
    Unten links KachelX 107585 KachelY + 1 121922 2.01569869 -1.43698394 115.491028 -82.333115
    Unten rechts KachelX + 1 107586 KachelY + 1 121922 2.01574663 -1.43698394 115.493774 -82.333115
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.43697754--1.43698394) × R
    6.39999999996199e-06 × 6371000     		dl = 40.7743999997578m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.43697754--1.43698394) × R
    6.39999999996199e-06 × 6371000     		dr = 40.7743999997578m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01569869-2.01574663) × cos(-1.43697754) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.13341975164762 × 6371000     		do = 40.7498263779414m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01569869-2.01574663) × cos(-1.43698394) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.133413408863321 × 6371000     		du = 40.7478891283533m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.43697754)-sin(-1.43698394))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.13341975164762-0.133413408863321)×R²
    abs(2.01574663-2.01569869)×6.34278429867408e-06×R²
    4.79400000004127e-05×6.34278429867408e-06×6371000²
    4.79400000004127e-05×6.34278429867408e-06×40589641000000     		ar = 1661.51022548743m²