Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107584 / 121792
↖ ↑ ↗
← S 82.285331°
E115.488282°		 ← 40.99 m → S 82.285331°
E115.491028°		 →
↑
41.03 m
↓
↑
41.03 m
↓
S 82.285700°
E115.488282°		 ← 40.99 m →
1 682 m²		 S 82.285700°
E115.491028°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107584 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 121792 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820804595947266 y=0.929203033447266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820804595947266 × 217)
    floor (0.820804595947266 × 131072)
    floor (107584.5)     		tx = 107584
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.929203033447266 × 217)
    floor (0.929203033447266 × 131072)
    floor (121792.5)     		ty = 121792
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107584 / 121792 ti = "17/107584/121792"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107584/121792.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107584 ÷ 217
    107584 ÷ 131072     		x = 0.82080078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 121792 ÷ 217
    121792 ÷ 131072     		y = 0.92919921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82080078125 × 2 - 1) × π
    0.6416015625 × 3.1415926535     		Λ = 2.01565076
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.92919921875 × 2 - 1) × π
    -0.8583984375 × 3.1415926535     		Φ = -2.69673822502588
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01565076} λ = 2.01565076}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.69673822502588))-π/2
    2×atan(0.0674250798939839)-π/2
    2×0.0673231830433996-π/2
    0.134646366086799-1.57079632675     		φ = -1.43614996
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01565076} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.488282°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.43614996 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.285331°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107584 KachelY 121792 2.01565076 -1.43614996 115.488282 -82.285331
    Oben rechts KachelX + 1 107585 KachelY 121792 2.01569869 -1.43614996 115.491028 -82.285331
    Unten links KachelX 107584 KachelY + 1 121793 2.01565076 -1.43615640 115.488282 -82.285700
    Unten rechts KachelX + 1 107585 KachelY + 1 121793 2.01569869 -1.43615640 115.491028 -82.285700
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.43614996--1.43615640) × R
    6.43999999994094e-06 × 6371000     		dl = 41.0292399996237m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.43614996--1.43615640) × R
    6.43999999994094e-06 × 6371000     		dr = 41.0292399996237m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01565076-2.01569869) × cos(-1.43614996) × R
    4.79299999995852e-05 × 0.134239886985264 × 6371000     		do = 40.9917643964361m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01565076-2.01569869) × cos(-1.43615640) × R
    4.79299999995852e-05 × 0.134233505271791 × 6371000     		du = 40.9898156634551m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.43614996)-sin(-1.43615640))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.134239886985264-0.134233505271791)×R²
    abs(2.01569869-2.01565076)×6.38171347322469e-06×R²
    4.79299999995852e-05×6.38171347322469e-06×6371000²
    4.79299999995852e-05×6.38171347322469e-06×40589641000000     		ar = 1681.82096182655m²