Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107583 / 121793
↖ ↑ ↗
← S 82.285700°
E115.485535°		 ← 41 m → S 82.285700°
E115.488282°		 →
↑
40.97 m
↓
↑
40.97 m
↓
S 82.286069°
E115.485535°		 ← 41 m →
1 679 m²		 S 82.286069°
E115.488282°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107583 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 121793 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820796966552734 y=0.929210662841797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820796966552734 × 217)
    floor (0.820796966552734 × 131072)
    floor (107583.5)     		tx = 107583
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.929210662841797 × 217)
    floor (0.929210662841797 × 131072)
    floor (121793.5)     		ty = 121793
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107583 / 121793 ti = "17/107583/121793"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107583/121793.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107583 ÷ 217
    107583 ÷ 131072     		x = 0.820793151855469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 121793 ÷ 217
    121793 ÷ 131072     		y = 0.929206848144531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.820793151855469 × 2 - 1) × π
    0.641586303710938 × 3.1415926535     		Λ = 2.01560282
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.929206848144531 × 2 - 1) × π
    -0.858413696289062 × 3.1415926535     		Φ = -2.6967861619255
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01560282} λ = 2.01560282}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.6967861619255))-π/2
    2×atan(0.0674218478221655)-π/2
    2×0.0673199655978426-π/2
    0.134639931195685-1.57079632675     		φ = -1.43615640
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01560282} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.485535°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.43615640 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.285700°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107583 KachelY 121793 2.01560282 -1.43615640 115.485535 -82.285700
    Oben rechts KachelX + 1 107584 KachelY 121793 2.01565076 -1.43615640 115.488282 -82.285700
    Unten links KachelX 107583 KachelY + 1 121794 2.01560282 -1.43616283 115.485535 -82.286069
    Unten rechts KachelX + 1 107584 KachelY + 1 121794 2.01565076 -1.43616283 115.488282 -82.286069
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.43615640--1.43616283) × R
    6.43000000000171e-06 × 6371000     		dl = 40.9655300000109m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.43615640--1.43616283) × R
    6.43000000000171e-06 × 6371000     		dr = 40.9655300000109m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01560282-2.01565076) × cos(-1.43615640) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.134233505271791 × 6371000     		do = 40.9983676807835m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01560282-2.01565076) × cos(-1.43616283) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.134227133462256 × 6371000     		du = 40.9964215661413m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.43615640)-sin(-1.43616283))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.134233505271791-0.134227133462256)×R²
    abs(2.01565076-2.01560282)×6.37180953450001e-06×R²
    4.79400000004127e-05×6.37180953450001e-06×6371000²
    4.79400000004127e-05×6.37180953450001e-06×40589641000000     		ar = 1679.47999949863m²