Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107544 / 121847
↖ ↑ ↗
← S 82.305584°
E115.378418°		 ← 40.89 m → S 82.305584°
E115.381165°		 →
↑
40.84 m
↓
↑
40.84 m
↓
S 82.305951°
E115.378418°		 ← 40.89 m →
1 670 m²		 S 82.305951°
E115.381165°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107544 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 121847 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820499420166016 y=0.929622650146484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820499420166016 × 217)
    floor (0.820499420166016 × 131072)
    floor (107544.5)     		tx = 107544
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.929622650146484 × 217)
    floor (0.929622650146484 × 131072)
    floor (121847.5)     		ty = 121847
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107544 / 121847 ti = "17/107544/121847"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107544/121847.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107544 ÷ 217
    107544 ÷ 131072     		x = 0.82049560546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 121847 ÷ 217
    121847 ÷ 131072     		y = 0.929618835449219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82049560546875 × 2 - 1) × π
    0.6409912109375 × 3.1415926535     		Λ = 2.01373328
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.929618835449219 × 2 - 1) × π
    -0.859237670898438 × 3.1415926535     		Φ = -2.69937475450498
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01373328} λ = 2.01373328}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.69937475450498))-π/2
    2×atan(0.0672475458229593)-π/2
    2×0.0671464503106813-π/2
    0.134292900621363-1.57079632675     		φ = -1.43650343
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01373328} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.378418°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.43650343 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.305584°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107544 KachelY 121847 2.01373328 -1.43650343 115.378418 -82.305584
    Oben rechts KachelX + 1 107545 KachelY 121847 2.01378122 -1.43650343 115.381165 -82.305584
    Unten links KachelX 107544 KachelY + 1 121848 2.01373328 -1.43650984 115.378418 -82.305951
    Unten rechts KachelX + 1 107545 KachelY + 1 121848 2.01378122 -1.43650984 115.381165 -82.305951
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.43650343--1.43650984) × R
    6.41000000012326e-06 × 6371000     		dl = 40.8381100007853m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.43650343--1.43650984) × R
    6.41000000012326e-06 × 6371000     		dr = 40.8381100007853m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01373328-2.01378122) × cos(-1.43650343) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.133889607911265 × 6371000     		do = 40.8933325745811m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01373328-2.01378122) × cos(-1.43650984) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.133883255622534 × 6371000     		du = 40.8913924220949m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.43650343)-sin(-1.43650984))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.133889607911265-0.133883255622534)×R²
    abs(2.01378122-2.01373328)×6.35228873061e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.35228873061e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.35228873061e-06×40589641000000     		ar = 1669.9667977285m²