Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107538 / 121874
↖ ↑ ↗
← S 82.315506°
E115.361939°		 ← 40.83 m → S 82.315506°
E115.364685°		 →
↑
40.84 m
↓
↑
40.84 m
↓
S 82.315874°
E115.361939°		 ← 40.83 m →
1 667 m²		 S 82.315874°
E115.364685°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107538 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 121874 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820453643798828 y=0.929828643798828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820453643798828 × 217)
    floor (0.820453643798828 × 131072)
    floor (107538.5)     		tx = 107538
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.929828643798828 × 217)
    floor (0.929828643798828 × 131072)
    floor (121874.5)     		ty = 121874
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107538 / 121874 ti = "17/107538/121874"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107538/121874.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107538 ÷ 217
    107538 ÷ 131072     		x = 0.820449829101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 121874 ÷ 217
    121874 ÷ 131072     		y = 0.929824829101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.820449829101562 × 2 - 1) × π
    0.640899658203125 × 3.1415926535     		Λ = 2.01344566
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.929824829101562 × 2 - 1) × π
    -0.859649658203125 × 3.1415926535     		Φ = -2.70066905079472
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01344566} λ = 2.01344566}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.70066905079472))-π/2
    2×atan(0.0671605638762546)-π/2
    2×0.0670598594417309-π/2
    0.134119718883462-1.57079632675     		φ = -1.43667661
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01344566} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.361939°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.43667661 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.315506°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107538 KachelY 121874 2.01344566 -1.43667661 115.361939 -82.315506
    Oben rechts KachelX + 1 107539 KachelY 121874 2.01349359 -1.43667661 115.364685 -82.315506
    Unten links KachelX 107538 KachelY + 1 121875 2.01344566 -1.43668302 115.361939 -82.315874
    Unten rechts KachelX + 1 107539 KachelY + 1 121875 2.01349359 -1.43668302 115.364685 -82.315874
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.43667661--1.43668302) × R
    6.41000000012326e-06 × 6371000     		dl = 40.8381100007853m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.43667661--1.43668302) × R
    6.41000000012326e-06 × 6371000     		dr = 40.8381100007853m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01344566-2.01349359) × cos(-1.43667661) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.133717985173315 × 6371000     		do = 40.8323954000585m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01344566-2.01349359) × cos(-1.43668302) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.133711632736055 × 6371000     		du = 40.8304556069211m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.43667661)-sin(-1.43668302))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.133717985173315-0.133711632736055)×R²
    abs(2.01349359-2.01344566)×6.35243726052059e-06×R²
    4.79300000000293e-05×6.35243726052059e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×6.35243726052059e-06×40589641000000     		ar = 1667.47824623565m²