Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107524 / 121861
↖ ↑ ↗
← S 82.310730°
E115.323486°		 ← 40.87 m → S 82.310730°
E115.326233°		 →
↑
40.90 m
↓
↑
40.90 m
↓
S 82.311098°
E115.323486°		 ← 40.86 m →
1 671 m²		 S 82.311098°
E115.326233°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107524 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 121861 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820346832275391 y=0.929729461669922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820346832275391 × 217)
    floor (0.820346832275391 × 131072)
    floor (107524.5)     		tx = 107524
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.929729461669922 × 217)
    floor (0.929729461669922 × 131072)
    floor (121861.5)     		ty = 121861
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107524 / 121861 ti = "17/107524/121861"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107524/121861.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107524 ÷ 217
    107524 ÷ 131072     		x = 0.820343017578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 121861 ÷ 217
    121861 ÷ 131072     		y = 0.929725646972656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.820343017578125 × 2 - 1) × π
    0.64068603515625 × 3.1415926535     		Λ = 2.01277454
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.929725646972656 × 2 - 1) × π
    -0.859451293945312 × 3.1415926535     		Φ = -2.70004587109966
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01277454} λ = 2.01277454}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.70004587109966))-π/2
    2×atan(0.0672024300196814)-π/2
    2×0.0671015374774421-π/2
    0.134203074954884-1.57079632675     		φ = -1.43659325
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01277454} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.323486°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.43659325 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.310730°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107524 KachelY 121861 2.01277454 -1.43659325 115.323486 -82.310730
    Oben rechts KachelX + 1 107525 KachelY 121861 2.01282248 -1.43659325 115.326233 -82.310730
    Unten links KachelX 107524 KachelY + 1 121862 2.01277454 -1.43659967 115.323486 -82.311098
    Unten rechts KachelX + 1 107525 KachelY + 1 121862 2.01282248 -1.43659967 115.326233 -82.311098
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.43659325--1.43659967) × R
    6.42000000006249e-06 × 6371000     		dl = 40.9018200003981m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.43659325--1.43659967) × R
    6.42000000006249e-06 × 6371000     		dr = 40.9018200003981m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01277454-2.01282248) × cos(-1.43659325) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.13380059608788 × 6371000     		do = 40.866146072555m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01277454-2.01282248) × cos(-1.43659967) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.133794233811999 × 6371000     		du = 40.864202869736m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.43659325)-sin(-1.43659967))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.13380059608788-0.133794233811999)×R²
    abs(2.01282248-2.01277454)×6.36227588085569e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.36227588085569e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.36227588085569e-06×40589641000000     		ar = 1671.46001062695m²