Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107522 / 121859
↖ ↑ ↗
← S 82.309995°
E115.317993°		 ← 40.86 m → S 82.309995°
E115.320739°		 →
↑
40.90 m
↓
↑
40.90 m
↓
S 82.310363°
E115.317993°		 ← 40.86 m →
1 671 m²		 S 82.310363°
E115.320739°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107522 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 121859 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820331573486328 y=0.929714202880859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820331573486328 × 217)
    floor (0.820331573486328 × 131072)
    floor (107522.5)     		tx = 107522
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.929714202880859 × 217)
    floor (0.929714202880859 × 131072)
    floor (121859.5)     		ty = 121859
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107522 / 121859 ti = "17/107522/121859"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107522/121859.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107522 ÷ 217
    107522 ÷ 131072     		x = 0.820327758789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 121859 ÷ 217
    121859 ÷ 131072     		y = 0.929710388183594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.820327758789062 × 2 - 1) × π
    0.640655517578125 × 3.1415926535     		Λ = 2.01267867
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.929710388183594 × 2 - 1) × π
    -0.859420776367188 × 3.1415926535     		Φ = -2.69994999730042
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01267867} λ = 2.01267867}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.69994999730042))-π/2
    2×atan(0.0672088732808306)-π/2
    2×0.0671079517678098-π/2
    0.13421590353562-1.57079632675     		φ = -1.43658042
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01267867} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.317993°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.43658042 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.309995°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107522 KachelY 121859 2.01267867 -1.43658042 115.317993 -82.309995
    Oben rechts KachelX + 1 107523 KachelY 121859 2.01272660 -1.43658042 115.320739 -82.309995
    Unten links KachelX 107522 KachelY + 1 121860 2.01267867 -1.43658684 115.317993 -82.310363
    Unten rechts KachelX + 1 107523 KachelY + 1 121860 2.01272660 -1.43658684 115.320739 -82.310363
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.43658042--1.43658684) × R
    6.41999999984044e-06 × 6371000     		dl = 40.9018199989835m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.43658042--1.43658684) × R
    6.41999999984044e-06 × 6371000     		dr = 40.9018199989835m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01267867-2.01272660) × cos(-1.43658042) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.133813310713031 × 6371000     		do = 40.8615042003769m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01267867-2.01272660) × cos(-1.43658684) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.133806948448172 × 6371000     		du = 40.859561406264m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.43658042)-sin(-1.43658684))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.133813310713031-0.133806948448172)×R²
    abs(2.01272660-2.01267867)×6.36226485942193e-06×R²
    4.79300000000293e-05×6.36226485942193e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×6.36226485942193e-06×40589641000000     		ar = 1671.27015796074m²