Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107512 / 121880
↖ ↑ ↗
← S 82.317709°
E115.290527°		 ← 40.83 m → S 82.317709°
E115.293274°		 →
↑
40.84 m
↓
↑
40.84 m
↓
S 82.318077°
E115.290527°		 ← 40.83 m →
1 667 m²		 S 82.318077°
E115.293274°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107512 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 121880 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820255279541016 y=0.929874420166016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820255279541016 × 217)
    floor (0.820255279541016 × 131072)
    floor (107512.5)     		tx = 107512
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.929874420166016 × 217)
    floor (0.929874420166016 × 131072)
    floor (121880.5)     		ty = 121880
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107512 / 121880 ti = "17/107512/121880"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107512/121880.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107512 ÷ 217
    107512 ÷ 131072     		x = 0.82025146484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 121880 ÷ 217
    121880 ÷ 131072     		y = 0.92987060546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82025146484375 × 2 - 1) × π
    0.6405029296875 × 3.1415926535     		Λ = 2.01219930
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.92987060546875 × 2 - 1) × π
    -0.8597412109375 × 3.1415926535     		Φ = -2.70095667219244
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01219930} λ = 2.01219930}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.70095667219244))-π/2
    2×atan(0.0671412498386992)-π/2
    2×0.0670406321049348-π/2
    0.13408126420987-1.57079632675     		φ = -1.43671506
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01219930} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.290527°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.43671506 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.317709°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107512 KachelY 121880 2.01219930 -1.43671506 115.290527 -82.317709
    Oben rechts KachelX + 1 107513 KachelY 121880 2.01224724 -1.43671506 115.293274 -82.317709
    Unten links KachelX 107512 KachelY + 1 121881 2.01219930 -1.43672147 115.290527 -82.318077
    Unten rechts KachelX + 1 107513 KachelY + 1 121881 2.01224724 -1.43672147 115.293274 -82.318077
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.43671506--1.43672147) × R
    6.40999999990122e-06 × 6371000     		dl = 40.8381099993707m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.43671506--1.43672147) × R
    6.40999999990122e-06 × 6371000     		dr = 40.8381099993707m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01219930-2.01224724) × cos(-1.43671506) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.133679880377594 × 6371000     		do = 40.8292763877897m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01219930-2.01224724) × cos(-1.43672147) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.133673527907383 × 6371000     		du = 40.8273361798745m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.43671506)-sin(-1.43672147))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.133679880377594-0.133673527907383)×R²
    abs(2.01224724-2.01219930)×6.35247021155139e-06×R²
    4.79400000004127e-05×6.35247021155139e-06×6371000²
    4.79400000004127e-05×6.35247021155139e-06×40589641000000     		ar = 1667.35086299426m²